文档介绍：概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1、导数的背景：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。如一物体的运动方
程是S=1-1+12,其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t=3时的瞬时速度为
(答：5米
曲线y二f(x)的切线方程(答：①1；②y二4x或y二x)。
(2)_1=A/x;
⑶若f(x),g(x)有导数，则①[f(x)土g(x)]_广(x)土gg(x)；②[C・f(x)]‘_Cf'(x)。
(答：丁)；(2)函
4
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5、导数的运算法则:(1)常数函数的导数为0，即C'=0(C为常数)
(xn)
=nxn—1(ngQ)，与此有关的如下：
如(1)已知函数f(x)=mxm-n的导数为f\x)=8x3，则mn二
数y_(x—1)(x+1)2的导数为(答：y'_3x2+2x—1)；(3)若对任意xgr,
f(x)_4x3,f(1)_—1，则f(x)是(答：f(x)_x4—2)
6、多项式函数的单调性：
(1)多项式函数的导数与函数的单调性：
若f(x)>0，则f(x)为增函数；若f(x)<0，则f(x)为减函数；若f(x)二0恒成立，则f(x)为常数函数；若f(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数。
若函数y二f(x)在区间(a,b)上单调递增，则广(x)>0，反之等号不成立；若
函数y二f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f(x)<0，反之等号不成立。如(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a,b,c为实数，当a2-3b<0时，f(x)的单调性是
(答：增函数)；(2)设a>0函数f(x)=x3-ax在［1,+Q上单调函数，则实数a的取值范围(答：0<a<3)；(3)已知函数f(x)=-x3+bx(b为常数)在区间(0,1)上单
调递增，且方程f(x)=0的根都在区间［-2,2］内，则b的取值范围是(答：
［3,4］)(4)已知f(x)=x2+1，g(x)=x4+2x2+2，设申(x)=g(x)-Xf(x)，试问是否存在实数九，使申(x)在(-a,-1)上是减函数，并且在(-1,0)上是增函数？(答：:=4)
(2)利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根，设根为x,x,…x；(3)x,x,…x将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判
12n12n
断f(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数f(x)=ax3+bx2+cx在
x=-1,1处有极值，且f(-2)=2，求f(x)的单调区间。(答：递增区间(一1,1)，递减区间(-a,-1),(1,+a))
7、函数的极值：
定义：设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近所有的点，都有
00
f(x)<f(x)，就说是f(x)函数f(x)的一个极大值。记作儿”=f(x)，如果对x附
00极大值00
近所有的点，都有f(x)>f(x)，就说是f(x)函数f(x)的一个极小值。记作y需=
00极小值
f(x)。极大值和极小值统称为极值。
0
求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤:(i)求导数f'(x)；(ii)求方程
f(x)=0的根x；(iii)检查f(x)在方程f(x)=0的根x的左右的符号：“左正右负”0