文档介绍：张量分析初步
第三节 张量分析
第一节 指标符号
第二节 张量的定义和代数运算
符号推导过程中，概念要清楚
初步
参考教材：弹性力学，陈国荣编著，河海大学出版社
抽象的意义---突破人想象力的局限
1、代数学：代数:
§A－2 张量的定义和
代数运算
说明
任意矢量可以表示为基矢量的线性组合
1
2
基矢量不是唯一的
1. 矢量的基本运算
(1)点积
基矢量点积
任意两矢量的点积
1
2
投影
1
(2) 叉积
基矢量的叉积
由于
特别地：
（比较：
）
两个任意矢量的叉积
2
(3) 混合积
基矢量混合积
故也有定义
1
置换符号就是基矢量的混合积
矢量混合积
表示的是以 为边长的平行六面体的体积。
2
(4) 并矢（并乘）
定义：
展开共9项， 可视为并矢的基
为并矢的分解系数或分量
2. 平面笛卡儿坐标系的旋转变换
互为逆矩阵
互为转置矩阵
为正交矩阵
引用指标符号：
由
又
互为逆矩阵
说明
1
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
3. 三维情况 (三维坐标系旋转)
考虑一位置矢量
同理
同二维问题，可得
（正交性）
可试证：
4. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
基矢量的坐标变换符合前述要求
标量：零阶张量
矢量：一阶张量
张量：二阶张量
讨论
1
2
上述表达式具有不变性特征；
张量分量 与坐标系有关；
3
在坐标变换时遵循相同的变换规律
问题的提出
自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）
坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长
如何解决?
引入张量方法
1. 张量的数乘
张量代数
2. 张量的加法
3. 矢量与二阶张量的点积
1
2
左点乘：
右点乘 :
点乘得到的新张量比原张量低一阶
张量代数
1
左点乘：
3. 矢量与二阶张量的点积
张量代数
点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低
二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移
张量代数
4. 矢量与二阶张量的叉积
1
左叉乘：
叉乘得到的新张量与原张量同阶
2
右叉乘 :
张量代数
4. 两个张量的点积
两个二阶张量点积得到一个新二阶张量，相当于矩阵相乘
两个任意阶张量点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减2
张量代数
5. 两个张量的双点积
两个任意阶张量双点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减4
张量代数
6. 张量的缩并
张量缩并后得到一个新张量，阶数较原张量低二阶
二阶张量的“迹”，就是在其并矢的两个矢量间取点积
张量代数
7. 张量的转置
对于对称张量，一定可以找到三个互相正交的主方向
应力张量与应变张量均为对称的二阶张量
张量代数
7. 张量的转置
几种常用的二阶张量
1. 单位张量
2. 置换张量
以置换符号为分量的三阶张量
3. 逆张量
并非所有张量都可逆，有逆存在的张量称为可逆张量
几种常用的二阶张量
4. 正交张量
正交张量对应的线性变换保持矢量长度和内积不变
正交张量对应的线性变换代表一个转动
§A－3 张量分析
梯度
标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向。
对单变量实值函数，梯度只是导数，如应变。
图中标量场是黑白的，黑色代表大的数值，蓝色箭头代表梯度方向。
散度、旋度
散度是将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上，描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点。
旋度表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度，这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。
力学中：
几何方程与位移场的梯度有关
转动量与位移场的旋度有关
平衡方程与应力场的散度有关
1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)
梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示为:
可以证明, Hamilton算子具有张量的属性,相当于一阶张量。
哑标
2、梯度
1
标量场
为一阶张量－－矢量
2
张量场
（1）左梯度
（2）右梯度
并乘
3、散度
1
矢量场
为一标量，反映“发源”或“汇聚”
2
张量场
（1）左散度
（2）右散度
4、旋度