文档介绍：: .
黎曼流形
集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成
另一个拓扑。
3. X = ℤ（整数集合）及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上 ℤ 自身不是一个拓扑，因
为（例如）所有不包含零的有限集合的并集是无限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在
τ 内。
[ ] 拓扑之间的关系
同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的， 这些拓扑之间
可以形成一种偏序关系。当拓扑 的每一个开集都属于拓扑 时，我们说拓
扑 比拓扑 更细，或者说拓扑 比拓扑 更粗。仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅
依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。
最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两
个拓扑都是平庸的。
在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
[ ] 连续映射
拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称
这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直
观印象。
同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同
胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同
的。
拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一
个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法， 激发和产生了
整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和 K-理论。
[ ] 等价定义
虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的
多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空
间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的角度看，都定义了同一个范畴即
拓扑空间范畴。
[ ] 闭集
利用德·摩根律，和上面定义中关于开集的公理相对偶的，我们引入下述关于闭
集的公理。
集合 X 上的子集族 ，它们满足如下的公理：
：空集 和全集 都属于 。
• C1 X
： 中的任意多个子集的交集仍然属于 。
• C2
： 中的任意有限多个子集的并集仍然属于 。
• C3集族 中的元素称为集合 X 上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射：
映射 f 是连续的，当且仅当，f 对任何闭集的原像也是闭集。
[ ] 邻域
我们考虑集合 X 上的一个映射 ，其中 P(P(X))指集合 X
的幂集的幂集。我们假设 将 X 中的点 x 映射为 X 的子集族 ，即有
。
对任意的 ，如果上述的 满足如下公理：
：集族 不空，并且 中任何一个集合都包含点 。
• N1 x
：集族 中的一个集合 ，如果有 ，则集合 也属于集族 。
• N2 N U
：集族 中任意两个集合的交集仍在 中。
• N3