文档介绍：
定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不
同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有
关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。
ana〔2…a〔n
为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
例2计算行列式Dn解:
各行加到第一行中去
a
(n1)b
a
(n1)b
a
(n
b
a
b
b
b
a
1)b
D
n
(n
1)b
a(n
1)b
(n
1)b(ab)n1
例3计算行列式解：从倒数第二行
(-1)倍加到第
n(n1)
2
0
将所有列加到第一列上
0
0
2111n
1n
1
1nn(n1)
第一行的（1）倍加各行上n（n
1)
2
1
1
1
n
n(n1)
n0
"(1)n1
2
n
0
n
1
1
1
n
1n
n(n1)
(1厂S
n)n
2
〔如上、下三角行列式等〕可以用定义直接
计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,
般行列式计
算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算〔如上〔下〕三
角行列式等〕或利用按行〔列〕展开定理降低行列式的阶数。
a〔
b1
0
0
0
a?
0
0
0
0
an1
bn
bn
0
0
an
1例4计算n阶行列式D
解：按第1列展开得
a2
b2
0
0
0
0
0
0
as
0
0
a2
b2
0
0
bn(1)n1
0
as
bs
0
0
0
an1
bn1
0
0
0
an
0
0
0
bn1
a〔a?
anbn.
Da1
1b1b2
对于形如次三角形行列式来计算,
即利用对角元素或次对角元素将一条边消为
例5计算行列式
Dn
的所谓箭型〔或爪形〕行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或
n(n1).1
1)n
1CncCn12Dn1CnGn
对于形如的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递推关系DnDn1Dn2,然后采用如下的一些方法求解。
方法1如果n比拟小，那么直接递推计算
方法2用第二数学归纳法证明：即验证n=1时结论成立，设nk时结论也成立，假设证明n=k+1时结论也成立，那么对任意白然数相应的结论成立方法3将DnDn1Dn2变形为DnpDn1q(Dn1pDn2)，其中pq,pq由韦达定理知p和q是一元二次方程x2x0的两个根。确定p和q后，令fxDnpDn1,那么利用fnqfn1递推求出fn，再由DnpDn1fn递推求出Dn。
方法4设Dnxn,代入Dn
Dn1
Dn20得xn
x
0〔称
之为特征方程〕，求出其根x〔和*2
〔假设x1
x2〕,那么Dn
^x；
k2x；,
这里k〔，k2可通过n=1和n=2来确定。
00
0
1
0
0
例6计算行列式Dn
0
1
0
0
.
0
0
0
0
0
01
!¥：将行列式按第n展开，有
Dn
(
)Dn1
Dn2,
Dn
Dn
(DniDn2),Dn
(Dn1Dn2),
得DnDn122(Dn2D3)n2(D2Di)n同理，得DnDnin
所以Dn
(。
因此遇到具有逐行〔或列〕元素方籍递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时,可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值例7计算行列式D解:
第3行,行列式1
X11
2X1X1
1
X21
2
X2X2
1
Xn1
2XnXn
n-1n2X1X1n-1n2
X2X2n-1n2
XnXn把第1行的一1倍加到第2行，把新的第以此推直到把新的第1行白-1倍加到第X12X1X22X2Xn2Xn
n1X1
n1X2n1
Xn2行的一1倍加到n行，便得范德蒙
(XiXj).
ij1
对于形如也可利用
的所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式,行列式的性质化简并降阶。
例8计算行列式D
(nn2)1(n1)