文档介绍：
2
平面几何中的向量方法
备课资料
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向
2
平面几何中的向量方法
备课资料
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时防止了复杂,烦琐的运算和推理,、学生进一步探究使用.
图11
例1 如图11所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
证明:如图11,作直径BD,连接DA,DC,有=,
且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,
故CH∥DAH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.
从而=.
又=
得
3
即.
例2 如图12,在梯形ABCD中,E,F分别为腰AB,CD的中点.
求证:EF∥BC,且||=(||+||).
图12
证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ>0),
又E,F是中点,∴+=0,
且=(+).
而+=+++
=+=(1+λ),
∴=,EF与BC无公共点,
∴EF∥>0,
∴||=(||+|λ|)=(||+||).
图13
4
例3 如图13,在△ABC中,由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.
证明:由AH⊥BC,BH⊥AC,
有
又
故有(+)·=0,
且=0,
两式相减,得=0,
即·=0,∴⊥.
图14
例4 求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的.
:△ABC的三边中点分别为D,E,F(如图14).
求证:AE,BF,CD共点,且.
证明:设AE,BF相交于点G,=λ1,
由定比分点的向量式有
6
=,
又F是AC的中点,,
设,
那么,
∴
∴
即=.
又==(CA+2CE)
=·(+)=,
∴C,G,D共线,且=.
二、备用****题
,设=a,=b,=c,那么|a-b+c|=_______________.
2.|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°,那么使λb-a与a垂直的λ=____________.
△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,那么
6
a·b+b·c+c·a=____________.
=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,那么k=_________.
图15
,矩形ABCD,AC是对角线,E是AC的中点,过点E作MN交AD于点M,交BC于点