2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩.ppt

文档介绍：逆矩阵公式和矩阵的秩
第一页，共17页。
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则
证明
第二页，共17页。

证明：
第三页，共17页。

证明:
逆矩阵公式和矩阵的秩
第一页，共17页。
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则
证明
第二页，共17页。

证明：
第三页，共17页。

证明:
第四页，共17页。
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
第五页，共17页。
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解
所以A可逆
又因为
5
2
1
10
2
2
7
2
1
第六页，共17页。
例2 设A为三阶矩阵,
,求
解:
知
可逆,且
,所以
又
,于是
第七页，共17页。
二、矩阵的秩
定义24(k阶子式)
设A是mn矩阵 从A中任取k行k列(kmin(m, n)) 位于这些行和列的交叉处的元素 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式 称为矩阵A的一个k阶子式
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第八页，共17页。
定义25(矩阵的秩)
设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即存在r阶子式不为零 而任何r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A的秩 记作秩(A)r或r(A)r
当AO时 规定r(A)0
矩阵的秩的简单性质
(1)r(A)r(AT)
(2)对于mn矩阵A 有0r(A)min(m, n)
当r(A)min(m, n)时 称矩阵A为满秩矩阵
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第九页，共17页。
定义212(矩阵的秩)
设A为mn矩阵 如果A中不为零的子式最高阶数为r 即存在r阶子式不为零 而任何r1阶子式皆为零 则称r为矩阵A的秩 记作秩(A)r或r(A)r
当AO时 规定r(A)0
上述矩阵都是满秩矩阵
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第十页，共17页。
定理27 矩阵经初等变换后 其秩不变
解
由定理25知 A的秩等于经初等变换后所求出的最后一矩阵的秩 而最后一矩阵的秩显然等于3 故r(A)3
思考
A的秩与最后一个阶梯形矩阵的非零行有什么关系？
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第十一页，共17页。
阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
解
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有三个非零行 故r(A)3
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第十二页，共17页。
阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
解
最后一矩阵为阶梯形矩阵 有两个非零行 故r(A)2
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第十三页，共17页。
例4 设B为n阶非奇异矩阵 A为mn矩阵 试证 A与B之积的秩等于A的秩 即r(AB)r(A) （P60/）
因为B非奇异 故可表示成若干初等矩阵P1 P2  Ps之积
BP1P2  Ps
于是 ABAP1P2  Ps
这表示AB是A经s次初等变换后得出的
因而r(AB)r(A)
证
结束
---------作为定理来用
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几个常用性质：P60
第十五页，共17页。
例5 设 是n阶矩阵 的伴随矩阵，
证明：
若
若
若
P60/
证：
(1) 若
则
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谢谢！
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