文档介绍：再探函数的对称性
李洲 函数是中学数学教学的主线。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。再探函数的对称性
李洲 函数是中学数学教学的主线。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
一、函数自身的对称性探究
y=f (x)的图象关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a-x)=2b
证明:(必要性)设点P(x ,y)是y=f (x)图象上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x,2b-y)也在y=f (x)图象上,∴ 2b-y=f (2a-x)
即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f (x)图象上任一点,则y0=f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x)=2b
∴f (x0) + f (2a-x0)=2b,即2b-y0=f (2a-x0) 。
故点P'(2a-x0,2b-y0)也在y=f (x) 图象上,而点P与点P'关于点A (a ,b)对称,充分性得征。
推论:函数 y=f (x)的图象关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x)=0
定理2. 函数 y=f (x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是
f (a +x)=f (a-x) 即f (x)=f (2a-x)
推论:函数 y=f (x)的图象关于y轴对称的充要条件是f (x)=f (-x)
定理3. ①若函数y=f (x) 图象同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y=f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y=f (x) 图象同时关于直线x=a 和直线x=b成轴对称 (a≠b),则y=f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y=f (x)图象既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y=f (x)图象既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ]=2c………………(*)
又∵函数y=f (x)图象直线x=b成轴对称,
∴ f (2b-x)=f (x)代入(*)得:
f (x)=2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x]=2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
f (x)=f [4(a-b) + x],故y=f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
二、 不同函数对称性的