线性代数--总复习.ppt

文档介绍：线性代数--总复习
典型例题
1＊. 计算
24页：11 (1), (3), (4), 12
2. (051,2,4)(4分) 设1, 2, 3均为3维列向量, 记矩阵A=(1,2,3), 式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。
行列式的性质
性质7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变.
行列式展开定理
. 行列式展开定理: 行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和. 即
. 关于代数余子式的重要性质：
Cramer法则及其应用
. Cramer法则 若D0, 则Ax=b有唯一解: xi=Di /D
. 解判定 Ax=0有非零解|A|=0.
Ax=0只有零解|A|0.
Ax=b有唯一解|A|0.
Ax=b无解|A|=0.
Ax=b有无穷多解|A|=0.
特殊行列式的计算
. 对角行列式, 上(下)三角行列式: 对角线元素乘积
. 二、三阶行列式: 对角线法则
特殊行列式的计算
. Vandermonde行列式
线性运算, 乘法, 转置, 方阵的幂, 方阵的行列式;
|AB|=|A||B|: A, B为同阶方阵.
A+B: A, B为同型矩阵(行和列都相等);
AB: A的列数等于B的行数, ABBA
AB=0推不出A=0或B=0
AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C
矩阵的运算
|kA|=kn|A|, |A+B||A|+|B|
逆 矩 阵
可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.
若AB=E (或BA=E)，则A可逆, 且B=A-1 (A为方阵)。
（ⅰ） (A-1) -1=A
（ⅲ） (AT)-1=(A-1)T
（ⅱ） (kA)-1 =1/k A-1
（ⅳ） (AB)-1=B-1A-1
逆矩阵的计算:
A可逆|A|0。
（ⅴ） |A-1| =1/|A|
（ⅵ） (Ak)-1=(A-1)k A-k
(A+B)-1A-1+B-1

=
伴 随 矩 阵
|A*|=|A|n-1 (A*)-1=A/|A|=(A-1)* (A可逆时)
AA*=A*A=|A|E, A可逆时有A*=|A|A-1
(AT)*=(A*)T (cA)*=cn-1A*
(AB)*=B*A* (Ak)*=(A*)k
(A*)*=|A|n-2A
n=2时有:
初等变换与初等矩阵
初等变换与初等方阵的关系：
初等变换: ri↔rj , k×ri , rj+kri , ci↔cj , k×ci , cj+cri
初等矩阵: P[i,j], P[i(k)], P[i+j(k)]
矩阵的等价: A经初等变换变成B，称A与B等价；
P-1[i,j]=P[i,j], P-1[i(k)]=P[i(1/k)], P-1[i+j(k)]=P[i+j(-k)]
分块对角矩阵
分块对角矩阵
分块对角矩阵
设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵, 即
则称A为分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质:
（a） |A|=|A1||A2|…|As|
（b）
定义 给定向量组: 1, 2, …, m , 若存在一组数 k1, k2,…,km , 使: =k11+k22+ …+kmm , 则称向量可由向量组1, 2, …, m线性表示, 也称向量是向量组1, 2, …, m的线性组合. 称可互相线性表示的两个向量组等价.
向量组的线性表示
向量可由向量组1, 2, …, m线性表示当且仅当线性方程组 x11+x22+…+xm m=有解.
向量可由向量组1, 2, …, m线性表示当且仅当向量组1, 2, …, m和1, 2, …, m, 有相同的秩.
反之, 线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示.
如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B, 则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价.
若C=AB, 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示, 而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.
向量组的线性表示
实际上, 由
可得, 