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【根底知识在线】知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二线线、线BCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证:B1C//平面ODC1.
【思维分析】在平面内找与向量B1C平行的向量A1D,由向量的相等，得线线平行，，求B1C的方向向量和平面ODC1的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行^证明方法一••-B1C=A1D，又B1A,D'
B1C//AD,又A1D平面ODC1,
B1C//平面ODC「方法
图3-2-2
建系如图，设正方体的棱长为1,那么可得
_-11^we。，1，。,％项，go,1,1,——-11—-11服1,0,1,OD,,1,OG,,0222设平面ODC〔的法向量为nx,y,z,1xyz0
nOD0/曰223那么nOC10'侍21x21y02令x1,得y1,z1,n1,1,1.
B1Cn1101110,
B1Cn,BQ//平面ODC1.
【评析】向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行.
，E,F分别在DB,D1C上，且DE
D1F宓a,其中a为正方体棱长.
3
求证：EFII平面BB1C1C.
证明
图3-2-3
,F
a2a°,苗
故EF
2a
3,0,r
如下列图，建立空间直角坐标系Dxyz,那么
aaE一，一,0
3
又AB0,a,0显然为平面BB1C1C的一个法向量,
2aa_而ABEF0,a,0——,0,-0,3
AE±EF.
又E平面BB1C1C，因此EF//平面BB1C1C.
，E为棱。。1上的动点.
〔1〕求证：A1EBD；〔2〕假设平面A1BD平面EBD，试确定点E的位置.
肉3-2-4
【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于〔1〕，AE，BD0AEBD;对于〔2〕，利用条件平面ABD平面EBD,通过垂直条件下的向量数量积等于0，求得点E的位置；取BD的中点O，易证AOE是二面角ABDE的平面角，利用向量数量积证明^OeO0即可.
［解析］以DA,DC,DDi所在直线为xy,z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a.
〔1〕Aa,0,0,Ba,a,0,C0,a,0,Aa,0,a,C10,a,a,
设E0,a,m，那么A)Ea,a,ma,BDa,a,0,
AE,BDa2a200,所以^EBD,即AEBD.
aa-
〔2〕法一：设BD的中点为O，连接OE,OA1，那么OZ,3,°，
_—二aa
所以OE_,_,m,BDa,a,0,22
因为BCE丝DCE,所以EDEB,所以OEBD,aa
又OA—，一，a,所以OA，BD0,所以OAiBD,所以A1OE是二面角22ABDE的平面角，因为平面
A1BD平面EBD,所以A1OE-,
所以OA，OE0,即
故当E为CC』0中点时，能使平面A1BD平面EBD.
法二：E为CCi的中点，证明如下：由
一-a
E为CCi的中点得E0,a,—
aa一
设BD的中点为。，连接OE,OAi,那么。E'E'。，aaa所以OE—,—,—,BDa,a,0,那么OE*BD0,OEBD,即222OEBD.
aa
又OA—，一，a,所以OA，BD0,所以OA1BD,所以A1OE是二面角22122
aa因为OA'OE——
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ABDE的平面角，
2a——故OAOE,即AOE
50,所以OAOE,所以当E为CC1的中点时
-，.
【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果复原成立体几何问题或结论.
，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E,F分别为BC,PB上的点，且BE:ECPF:FB1:2.
求证：平面GEF上平面PBC.
证明（1）方法一如下列图3-2-5，以三棱锥的顶点P为原点，建立空间直角坐标系.
令PAPBPC3,那么
A3,0,0,B0,3,0,C0,0,3,E0,2,1F0,1,0,G1,1,0,P0,0,0
PA3,0,0,FG1,0,0,
PA3FG,PA//FG.
而