文档介绍：《凝聚态物理学进展》题库
§第一章晶体结构
一、简答题
证明晶体不可能具有5次对称轴和7次以及7次以上对称轴。
［解答］
证明：设A、B是晶体中任一晶列上的两个相邻的格点，如图所示，格点间距为a,如 果该晶格具有在纸面上旋转0角的”{人#宙一（"+1）纣］+ a#［仞一（〃一1）纽］-2}
—mc^ = p ［e~iaq + 妙—2）= 2” （cos aq — \）
解得co = 2^^-|sin^-tz^ 色散关系。
（4） 波矢取值的讨论：
格波解是波矢q的周期函数0 +——）=un （q）
a
并且色散关系也是波矢q的周期函数（o（q + —） = （O（q）
a
由于周期性，我们可以限制波矢q在一个周期的范围内：
通常选以原点为对称心的一个周期- -<q<-这就是一维单原子链的布里渊区。
a a
由于实际晶体的长度是有限的，记为L=Na,根据波恩-卡曼边界条件，有"心〃=功
Ag，［仞-（N+时初 _ AgZ•伽-wq） n e"Naq =］
.・.0 =竺./,/ =整数 Na
a,
分别画出一维单原子链和一维双原子链的色散关系，并比较其不同之处。设一 维单原子链的周期为a, 一维双原子链的周期为2a,原子链的长度均为L。
［解答］
一维双原子连的色散关系:
一维单原子链的色散关系：
力+光学波
声学波
S光学波
声学波
区别：单原子链只有声学格波，双原子链色散关系有两支格波一一声学波和光学波。
什么是晶格比热容的爱因斯坦模型？什么是晶格比热容的德拜模型?
［解答］
爱因斯坦模型假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都以同一频率刃£振动。
这样，晶格振动能量和晶格振动比热容分别为：
g = 3N［涪ZJ +她j 2叫知号
德拜模型假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看成连续介质的弹性波。对 于简单晶体，德拜模型有两点近似：（1）线性色散关系近似（2）球形等平面近似。由于色 散关系是准连续的，晶格比热容计算公式中的取和改用积分表示。
★，简述爱因斯坦模型和德拜模型的成功与不足。
［解答］
（1） 晶格比热容的经典困难：经典的杜隆-珀蒂定律，在高温下与实验结果符合很好，但是 无法解释晶格比热容在低温下趋于零的实验结果。
（2） 爱因斯坦模型
（A） 成功之处：在高温下，Cv 3NkB,与实验结果相一致；在低温下Cy TO,与实
验结果一致，解释了经典理论无法解释的晶格比热容在低温下趋于零的结果。
（B） 失败之处：实验结果表明，T—O , CV^T\
但爱因斯坦模型TTO,qTexp卜性］TO,与实验结果不符。
（3） 德拜模型
（A） 成功之处：在高温下，Cv^3NkB，与实验结果符合很好；在低温下，
二E&为德拜温蜀，可以很好地解释在低温度下晶格热容q 8尸一。
5 ®D-
的实验结果。
（B） 失败之处：德拜模型与实际晶体有差别，使得低温下的理论计算与实验结果的数值会 有所不同。
列出两个典型的非简谐效应。
［解答］
（1） 热膨胀：指的是在不加压的情况下，晶体体积随温度升高而增大的现象。
（2） 晶格的热传导：固体可以通过格波的传播而导热，称为晶格热导。
什么是声子？用声子概念解释热传导现象。
［解答］
（1） 声子：晶格振动的能量量子，是一种准粒子。
（2） 用声子概念解释热传导现象：
如果把晶格热运动系统看成是声子气体，平均声子数打由温度决定：3= 1 。
方-1
当样品内存在温度梯度时，声子气体的密度分布是不均匀的，高温处密度高，低温处密 度小，因而声子气体在无规运动的基础上产生平均的定向运动，即声子的扩散运动。声子是 晶格振动的能量量子，声子的定向运动就意味着有一股热流，热流的方向就是声子扩散运动 的方向。
二、选择填空
（1） 晶体原子相互作用势能泰勒展开式中的三次方及三次方以上的项称为非简谐项。
（2） 晶格振动格波的总数等于晶体的自由度数。
（3） 对于有N个原胞的一维双原子链，晶格振动模式数为 2N 。
（4） 对于每个原胞中有y个原子的晶体，晶格振动的格波有3（y-l） 个光频支。
（5） 金属电阻随温度升高而增大的现象主要是声子增多，对电子散射增强的结果。
（6） 固体的内能包括晶格系统的内能和电子系统的内能。
（7） 热膨胀和热传导是典型的非简谐效应。
§第三章能带理论
一、简答题
★＜p（r + RU（r）,何以见得上式中化具有波矢的意义？
［解答］
人们总可以把布洛赫函数9（「）展成傅里叶级数（p（r） = Za（K' +、"'*+&）•「， h
其中K'是电子的波矢。将伊侦