文档介绍：第6讲
不等式选讲
1．常用的证明不等式的方法
(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法．
(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与
几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式．
(3可归纳为：
第一步：作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全
平方式或常数的形式．
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．
第三步：得出结论.
考点2 综合法证明不等式
利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要
注意它们各自成立的条件．综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒
B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立
的必要条件，推导出所要证明的结论B.
考点3 分析法证明不等式
分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的
不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式
成立的条件已具备，就断定原不等式成立．当证题不知从何入手
时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论
复杂的题目往往是行之有效的方法．
用分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B
为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而
又……只需证明命题A 为真，今已知A 真，故B 必真．简写为：
B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.
考点4 利用放缩法证明不等式时应把握好度
要证A>B，可适当选择一个C，使得C≥B，反
之亦然．主要应用于不等式两边差异较大时的证明．一般的放缩
技巧有：
①分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子．
多见于分式类不等式的证明．
②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整
式或根式配方后需要放缩的不等式的证明．
考点5
解绝对值不等式
A．(0,2)
B．(－∞，0)
A
C．(2，＋∞)
D. (－∞，0)∪(0，＋∞)
x－2
解析：考查绝对值不等式的化简．绝对值大于本身，值为负
数.
x
<0，解得A.
或者选择x＝1 和 x＝－1，两个检验进行排除．
②(2011 年广东)不等式|x＋1|－|x－3|≥0 的解集是
____________．
[1，＋∞)
解析：|x＋1|－|x－3|≥0⇔(x＋1)2≥(x－3)2，∴原不等式的解
集为[1，＋∞)．
[0，＋∞)
为___________．
③(2011 年江西)对于 x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8 的解集
考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等
式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分
区间法、平方等方法去掉绝对值．题①利用代值法最好；题②利
用平方法最好；题③利用零点分区间法最好．
考点6 不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的应用
图5－6－1
例6：设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
对于比较复杂的含绝对值不等式的问题，若用常
规解法需分类讨论，去掉绝对值符号，解法繁琐，而灵活运用绝
对值的几何意义，往往能简便、巧妙地将问题解决．
【互动探究】
1．若不等式|x－4|＋|x－3|<a 的解集为非空集合，则实数 a 的
取值范围是(
)
C
a≥3 或 a≤1
A．a>7
B．1<a<7
C．a>1
D．a≥1
2．(2010 年广东佛山检测)若不等式|x－a|＋|x－2|≥1 对任意
实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围为____________.
解析：设y＝|x－a|＋|x－2|，则ymin＝|a－2|，
因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀x∈R恒成立，
所以|a－2|≥1，解得：a≥3，或a≤1.
1．利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有时
要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个
平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正
负．
2．放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分
式大小的比较．常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在
分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．
3．特别注意：对于含绝对值的不等式，从 2010 年高考开始
由选考内容改为必考内容，成为这两年高考的热点，特别是 2010
年的压轴题就是绝对值不等式，应掌握绝对值不等式的解法和利
用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|证明不等式的基本方法．