文档介绍：1 / 17
微积分下册知识点
第一章 空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
线性运算：加减法、数乘；
空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
微分法
定义：
复合函数求导：链式法则
若，则
，
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
应用
极值
无条件极值：求函数的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令
，，，
若，，函数有极小值，
若，，函数有极大值；
若，函数没有极值；
若，不定。
条件极值：求函数在条件下的极值
令： ——— Lagrange函数
解方程组
8 / 17
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线，则上一点（对应参数为）处的
切线方程为：
法平面方程为：
曲面的切平面与法线
曲面，则上一点处的切平面方程为：
法线方程为：
第三章 重积分
二重积分（一般换元法不考）
定义：
性质：（6条）
几何意义：曲顶柱体的体积。
计算：
直角坐标
9 / 17
，
，
极坐标
三重积分
定义：
性质：
计算：
直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
柱面坐标
10 / 17
，
球面坐标
应用
曲面的面积：
第五章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义：
性质：
1）
2）
3）在上，若，则
11 / 17
4） ( l 为曲线弧 L的长度)
计算：
设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则
对坐标的曲线积分
定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，
.
向量形式：
性质：
用表示的反向弧 , 则
计算：
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则
两类曲线积分之间的关系：
12 / 17
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.
格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在
D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分 在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
对面积的曲面积分
定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
计算：———“一投二换三代入”
，，则
13 / 17
对坐标的曲面积分
预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，
性质：
1），则
2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
计算：——“一投二代三定号”
，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.
两类曲面积分之间的关系：
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
14 / 17
高斯公式
高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有
或
斯托克斯公式
斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
第六章 常微分方程
1、微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；
未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;
未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；
微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.
15 / 17
能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.
如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.
不包含任意常数的解为微分方程特解.
2、典型的一阶微分方程
可分离变量的微分方程：
对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
齐次微分方程：
代入微分方程即可。
可通过坐