文档介绍：1
第二部分 导数、微分及其导数的应用
知识汇总
一、求导数方法
若与均可导，则也可导，且
即
若与互为反函数，且设f(x)在（0，+∞）内有定义，且，又对，有，求
解：令，有得 (﹡)
而 (﹡﹡)
由 (﹡)、(﹡﹡)得
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注意：有乘积的，一般令、互为倒数
（2）设函数满足等式，且存在，求
解：令， 则
有得 [1]
令 有 [2]
由[1]、[2]得
有 得
令得 即
注意：有和的，一般令、互为相反数；有差的，一般令、相等
二、根的存在性问题
利用零点定理证明方程在内至少有一个实根
方法：
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（1）令，在上连续
（2）计算，（或，）
（3）如果（或），则在内至少有一个实根
例7（1）设在时连续，，当时，，则在内有唯一的实根
证明：因为，则在上单调增加
（中值定理）
而故在内有唯一的实根
（2）设在上可导，且，，证明方程在内有唯一一个实根
证明：令，
因为，故要么恒正或恒负，即是单调函数
，，故方程在内有唯一一个实根
若可导，证明方程=0的相邻两个实根之间必有方程=0的一个实根。
例8若=，不用求导数，指出=0的实根个数及所在的区间。
证明：因是方程=0的根，即，又因在[1,2]上连续，在（1,2）内可导，故在[1,2]上满足罗尔定理的条件，则在（1,2）内至少存在一个点
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，使得=0，即是方程=0的一个实根。
同理，在（2,3）内至少存在一个点，使得=0，即是方程=0的另一个实根。
另外，由于为二次函数，=0最多有两个实根。
综上，=0有两个实根，分别在（1,2）和（2,3）内。
例9设在连续，在可导，且，，证明：方程在内必有唯一实根。
证法一：令，则有，.
由题义得
，
推出：，，
得：，而在上由介值定理知，
存在，使，即在内有实根。
又，知单调减，故有唯一实根。
证法二：设，在上用拉格朗日定理得
,
由设知，即，取，
即，得
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由题设知，在上用介值定理，推知方程在内有实根，
故函数单调，知其根唯一。
例10（1）
解：令 则
由=0 得，
当时，；当时，；当时，
；
当时，有唯一根在上；当时，有唯一根在上；当时，有三个根分别在，，上
（2）
解：令 则
（i）当时，，即为增函数
因为；
此时有一根
（ii）当，有一根
（iii）当，由得
时，；时，
因；；
，即时有一根；，即时有两根
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（或）上有若干个根，求待定系数的范围
方法：
（1）令并求
（2）当待定系数满足条件时，（或），此时在（或）上单调，考察的正负性，判断是否有唯一根
（3）找和不存在的点，再分区间讨论
例11设时，方程有且只有一根，求的范围
解：（1）当时，是方程的唯一根
（2）令 则
当时， 即为单调递减函数
故此时在时有唯一的根
（3）当时，令 即得
时 ，为减函数；时 ，为增函数
又因为
令 得
故只有或时方程有唯一的根
三、利用微分中值定理证明
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（1）将等式变形，使含的表达式分别在等式的两端
（2）两端分别使用中值定理(或柯西定理)
例12设在上可微，且，，则在内存在唯一点，使
证明：（i）存在性 构造辅助函数，在连续，且，
，由连续函数的介质定理，存在使，即
（ii）唯一性（反证法）
设还存在，使，且，在区间上应用拉格朗日定理，存在使，这与题设矛盾。（证明过程对仍正确）
例13设在连续，在内可导，且，，证明在内至少
一点，使
证明：令，则，，
由罗尔定理有，使
即， 得：
例14已知函数在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，，证明存在，使
解：利用柯西中值定理