文档介绍：. net 教师助手学生帮手家长朋友 . net . net 教师助手学生帮手家长朋友 . net § 基本不等式 2014 高考会这样考 1. 利用基本不等式求最值、证明不等式; 2. 利用基本不等式解决实际问题. 复****备考要这样做 1. 注意基本不等式求最值的条件; 2. 在复****过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用. 1. 基本不等式 ab≤ a+b2 (1) 基本不等式成立的条件: a≥ 0, b≥ 0. (2) 等号成立的条件:当且仅当 a= b 时取等号. 2. 几个重要的不等式(1) a 2+b 2≥2 ab(a,b∈R). (2) ba + ab ≥ 2(a, b 同号). (3) ab≤ a+ b2 2(a, b∈ R). (4) a 2+b 22 ≥ a+ b2 2(a, b∈ R). 3. 算术平均数与几何平均数设a >0 ,b >0 ,则 a,b 的算术平均数为 a+ b2 ,几何平均数为 ab, 基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4. 利用基本不等式求最值问题已知 x >0 ,y >0 ,则(1) 如果积 xy 是定值 p ,那么当且仅当 x= y 时, x+ y 有最小值是 2p .( 简记:积定和最小) (2) 如果和 x+y 是定值 p ,那么当且仅当 x=y 时, xy 有最大值是 p 24 .( 简记:和定积最大)[ 难点正本疑点清源]1. 在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正; 二定——积或和为定值; 三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. . net 教师助手学生帮手家长朋友 . net . net 教师助手学生帮手家长朋友 . net 2 .运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用, 例如 a 2+b 2≥2 ab 逆用就是 ab≤ a 2+b 22 ; a+b2 ≥ ab(a,b >0) 逆用就是 ab≤ a+b2 2(a,b >0) “添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 3 .对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数 y= x + mx (m >0) 的单调性. 1 .若 x >0 , y >0 ,且 x+ y= 18 ,则 xy 的最大值是________ . 答案 81 解析由于 x >0 , y >0 ,则 x+ y≥ 2 xy, 所以 xy≤ x+ y2 2= 81, 当且仅当 x=y=9 时, xy 取到最大值 81. 2 .已知 t >0 ,则函数 y= t 2-4t+1t 的最小值为________ . 答案-2 解析∵ t >0 ,∴ y= t 2-4t+1t = t+ 1t - 4≥ 2- 4 =- 2 ,且在 t= 1 时取等号. 3 .已知 x >0 ,y >0 ,且 2x+y=1 ,则 1x + 2y 的最小值是_________ . 答案 8 解析因为 1x + 2y = (2x+ y) 1x + 2y =4+ yx + 4xy ≥4+2 yx · 4xy =8 ,等号当且仅当 y= 12 ,x= 14 时成立. 4. ( 2012 · 浙江) 若正数 x, y 满足 x+ 3y= 5 xy,则 3x+ 4y 的最小值是() A. 245 B. 285 C. 5D. 6 答案 C 解析∵x >0 ,y >0 ,由 x+3y=5 xy得 15 1y + 3x = 1. . net 教师助手学生帮手家长朋友 . net . net 教师助手学生帮手家长朋友 . net ∴3x+4y= 15 (3x+4y) 1y + 3x= 15 3xy + 4+ 9+ 12yx= 135 + 15 3xy + 12yx ≥ 135 + 15 ×2 3xy · 12yx = 5( 当且仅当 x= 2y 时取等号),∴ 3x+ 4y 的最小值为 5. 5 .圆 x 2+ y 2+ 2x- 4y+ 1= 0 关于直线 2 ax- by+ 2= 0(a, b∈ R)对称,则 ab 的取值范围是() A. -∞, 14 B. 0, 14 C. - 14 ,0 D. -∞, 14 答案 A 解析由题可知直线 2 ax- by+2=0 过圆心(- 1,2) ,故可得 a+b =1 ,又因 ab≤ a+b2 2= 14 (a=b 时取等号). 故 ab 的取值范围是-∞, 14 . 题型一利用基本不等式证明简单不等式例1 已知 x >0 ,y >0 ,z >0. 求证: yx + zx xy + zy xz + yz ≥ 8. 思维启迪: 由题意,先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质即可得证. 证明∵x >0 ,y >0 ,z >