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导数与函数核心考 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两点,当 k=0 时,分别求 C 在点 M 与 N 处的
切线方程.
x²
解:由题意得:a= ,则 x=±2 a,即 M(-2 a,a),N(2 a,a),
4
x² x
由 f(x)= ,得 f ′(x)= ,
4 2
当切点为 M(-2 a,a)时,切线斜率为 f ′(-2 a)=- a,
此时切线方程为: ax+y+a=0;
当切点为 N(2 a,a)时,切线斜率为 f ′(2 a)= a,
此时切线方程为: ax-y-a=0;
2解题模板一 求在某处的切线方程
⑴写出 f(x);
⑵求出 f ′(x);
⑶写出切点(x0,f(x0));
⑷切线斜率k=f ′(x0);
⑸切线方程为y-f(x0)=f ′(x0)(x-x0).
2. 求过某点的切线方程
点 P 在曲线上 点 P 不在曲线上 点 P 在曲线上
切点 不是切点 不确定是切点
O
P
O O
P P
Step1 设切点为(x0,f(x0)),则切线斜率 f ′(x0),切线方程为:
y-f(x0)=f ′(x0)(x-x0)
Step2 因为切线过点(a,b),所以 b-f(x0)=f ′(x0)(a-x0),解得 x0=x1 或 x0=x2
Step2 当 x0=x1 时,切线方程为 y-f(x1)=f ′(x0)(x-x1)
当 x0=x2 时,切线方程为 y-f(x2)=f ′(x0)(x-x2)
1 4
例 f(x)= x3+ 过点 P(2,4)的切线方程.
3 3
1 4
解:设切点为 , 3+ ,则切线斜率 = ,
(x0 3x0 3) f ′(x0) x0²
1 4
所以切线方程为: - 3+ = - ,
y 3x0 3 x0² (x x0)
1 4
由切线经过点 , ,可得 - 3+ = - ,整理得: 3- +
P(2 4) 4 3x0 3 x0² (2 x0) x0 3x0² 4
=0,解得 x0=-1 或 x0=2
当 x0=-1 时,切线方程为:x-y+2=0;
当 x0=2 时,切线方程为:4x-y-4=0.
例 f(x)=x3-4x²+5x-4 过点 (2,-2)的切线方程.
3
解:设切点为(x0,x0 -4x0²+5x0-4),则切线斜率 f ′(x0)=3x0²-8x0+5,
3
所以切线方程为:y-(x0 -4x0²+5x0-4)=(3x0²-8x0+5) (x-x0),