第五章相似矩阵及二次型.pdf

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第五章 相似矩阵及TT (1,2,2,3) 与 (3,1,5,1) 的夹角 .
[ , ] 18 2 
cos    ,   .
 3 2 6 2 4
线性代数 6三、正交向量组的概念及求法
1. 正交的概念
当 [x , y ] 0 时 , 称 向 量 x 与 y 正 交 .
由定义知, 若 xx 0, 则 .与 任何向量都正交
2. 正交向量组的概念
若一向量组中不含零向量, 且其中的向量两两
正交, 则称该向量组为正交向量组.
线性代数 73. 正交向量组的性质
定 理 若 维 向 量 是 一 组 两 两 正 交
1 n 12, , ,  r
的 非 零 向 量 则 线 性 无 关
, 12 ,  , ,  r .
证明 设有 使
12 ,  , , r
1  1  2  2   rr   0,
以  T 左 乘 上 式 两 端 , 得 T
1 1 1 1  0,
2
由 T 从而有
1 0   1  1   1  0, 1  0.
同理可得 故 线性无关
2  r  0. 12 ,  , , r .
线性代数 8例 已知向量 TT正交 试
1. 12 (1, 1, 1) ,  (1,  2, 1) ,
求一个非零的 维向量 使 两两正交
3 3 ,  1 ,  2 ,  3 .
设 T 且 分 别 与 正 交
3 (x 1 , x 2 , x 3 ) 0 ,  1 ,  2 .
则有
[1 ,  3 ] [  2 ,  3 ] 0,
[1 , 3 ]x 1  x 2  x 3  0,
所以 
[ , ]x  2 x  x  0.
 2 3 1 2 3
 x1 
1 1 1   0 1 1 1   1 0 1 
即 ~,
  x2    .   