高等代数欧几里得空间知识点总结.docx

文档介绍：第九章欧几里得空间（ * * *） 一、复****指导:在第九章中，有两个重要的考点：1•标准正交基（施密特正交化） 矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为- 个比较重要的内容来复****br/>二、考点第九章欧几里得空间（ * * *） 一、复****指导:在第九章中，有两个重要的考点：1•标准正交基（施密特正交化） 矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为- 个比较重要的内容来复****br/>二、考点精讲: 三、首师大真题：
（一）欧氏空间
1•设v是是数域R上一线性空间，在v上定义了一个二元实函数，称为内积，记为（a,卩）， 特具有一下性质:
（1）（a,卩）=（卩）；
（2） （ka,卩）=k（a,卩）
（3） （a +卩，丫） = （a，丫） + （卩，丫）；
（4） （a,a） > 0，当且仅当a =o时（a,卩）=,卩,Y是V中任意的向量，k是任意 实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。
非负实数叮（a,a）称为向量a的长度，记为|。
卩:称为正交或互相垂直，记为a丄卩
非零向量a,卩的夹角::a,卩::规定为:：'a,卩;：=arccos
如果向量a,卩的内积为零，即（a,卩）=0 ,那么a,l
5•设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基££……,£令
1, 2, n
a = （£ ,£ ）,（i, j = 1,2,....n）矩阵A = （a ） 称为基……,£的度量矩阵。
ij i j ij nxn 1, 2, n
（1） 度量矩阵是正定的；
（2） 不同基底的度量矩阵是合同的。
6•欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空 间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
1）施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.
以3个线性无关向量％, a2, a3为例.
令p1=a1,
P =a - ©2,卩i)p 卩2 2 (p p)"r
(a ,卩)(a ,卩)r "(p, p/1 (p ,卩厂2 .
1 1 2 2
此时p , p , p是和a, a, a等价的正交非零向量组.
1 2 3 1 2 3
二）同构
1•实数域R上欧氏空间V与v'称为同构，如果由V到v'有一个1 -1上的映射◎，适合
（1） b（a + p） =b（a）+a（卩）
（2） b （ka） = kb （a）
（3）Q（a）Q（卩））=（a,卩） 这里a,卩eV,k eR，这样的映射a称为v到v'的同构
映射。
。
（三）正交矩阵
基本概念
（1） n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A = E。
（2） 欧氏空间 v 的线性变换 A 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的 a,卩eV都有（Aa,A卩）=（a,卩）
主要结论
设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：
（1） A是正交变换；
（2） A保持向量的长度不变，即对于a eV , |A叫=叫；
（3） 如果£ £……,£是标准正交基，那么A£ A£ , A£也是标准