文档介绍：空间向量与立体几何知识点归纳总结
。
空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)。
向量具有平移不变性
空间向量的运算。
定义的合一。
(4)模长公式：若0 = (%,%%), b = (bl,b2,b3),
贝I]I & 1= + 角？ + %2 , \b\= \[b^b =+b； +b；
/ , \ a-b
⑸夹角公式：c°s(") = E
+ a2b2 + %Z?3J a； + a； + a；+ b； + b；
AABC中①奇•无〉0<=>A为锐角②奇•无<0<=>A为车屯角,与屯角△
(6)两点间的距离公式：若A(西,加****B(x2,y2,z2),
则 I A3 1=』AB =一工1)2 +(力 一，1)2 +怂2 -Z])2 ,
或孔/ =』(工2 一羽)2 +(% 一叫)2 +危2 —Z)
空间向量的数量积。
空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取一点。，作 OA = a,OB = b 5则zaqb叫做向量a与力的夹角，记作 <。,人>；且规定 0<<a,b ><71 ,显然有<a,<>*b,a>；若<。力〉=§,则称a与力互相垂直， 记作：a Lb o
向量的模：设OA = a ,则有向线段。4的长度叫做向量a的长度或模，记作: |。|。
向量的数量积：已知向量a,8，贝lj| a| -| Z?| COS < Q b >叫做a,Z?的数量 积,记作a-b ,即a-b =\a\-\b\-cos<a,b>o
（4）空间向量数量积的性质:
2
① a-e =\ a \ cos <a,e > o ② a .Lb a-b = 0 o ③ |i| = a-a o
（5）空间向量数量积运算律：
①（人1），=人（［，）=1・（人"）。②a-b=b-a （交换律）。
a-（b + c） = a-b+a-c （分配律）。
―► —► — ―A —► —►
不满足乘法结合率：（。• b）c丰a（b • c）
线线平行o两线的方向向量平行
1线面平行o线的方向向量与面的法向量垂直
2面面平行o两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）o两线的方向向量垂直
1线面垂直。线与面的法向量平行
2面面垂直。两面的法向量垂直
3线线夹角。（共面与异面）［0°,90°］o两线的方向向量兄汇的夹角或夹角的补角， cos 6 = cos < zil, n2 >
1线面夹角0［0。,90。］:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量乔与面的法向
量；的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面
► —►
。= cos< AP,n >
2面面夹角（二面角）。［0°,180°］：若两面的法向量一进一出，则二面角等于 两法向量〃i，S的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
A A
cos9 = ±cos<叫，％ >
:求点尸（气况）到平面a的距离：在平面a上去一点Q（x,y）,得
向量PQ.；计算平面a的法向量〃；. h = • 叫
H
1线面距离（线面平行）：转化为点面距离
2面面距离（面面平行）：转化为点面距离
【典型例题】
基本运算与基本知识0
- ABCD ,化简下列向量表达式，标出化简结果的 向量。
(1)AB + BC ;
⑵ AB + AD + AA';
(3)AB + AD + ^CC'； ⑷!(AB + AQ + AA，)。
。和不共线的三点A,B,C,问满足向量式：
OP = xOA+yOB + zOC (其中 x+y + z = l)的四点 P,A,B,C 是否共面？
例 3 已知空间三点 A (0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C (1, -1, 5)。
⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S;
⑵若向量。分别与向量AS AC垂直，且|。| =占，求向量。的坐标。
基底法(如何找，转化为基底运算)
坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)
几何法
例 ，在空间四边形中，OA = 8, AB = 6, AC = 4 , BC = 5 , ZOAC = 45 , ZOAB = 60 ,求Q4与BC的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如< OA, AC >=135易错写成<Q4,AC>=45 ,
切记！
-^D,中，AB = BC = 4, E为板与鸟0的交点，F为BC