文档介绍：20
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层次分析法
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述(自然现象、社会现象)现象的规律。
近年来发以及组合权向量及一致性检验问题。
计算判断矩阵最大特征根和对应阵向量，并不需要追求较高的精确度，这是因
为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望使用较为简单的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体如下：
“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）
~a
（1）将矩阵A二（a）的每一列向量的归一化得：―
4
21
ijnxmijn
乙a
ij
i=1
20
5
2）
对!~按行求和得：谚=£谚
ij
i
j=1
3）
将W归一化,
i
ij
W
即有：W=
i
£W
i=1
，则有特征向量：谚=…
W
丿
4）
计算与特征向量W二
…对应的最大特征根九的近似值:
n
max
九=
max
1工（AW）
nW1
i=1i
此方法：实际上是将A的列向量归一化后取平均值作为A的特征向量。
解释：因为当A为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量W，所以可以在A的不一致性不严重时，取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的（有依据的）。
“根法”求最大特征根特征向量近似值步骤与“和法”相同，只是在（2）时：对归一化后的列向量按行“求和”改为
按行“求积”再取n次方根，即：谚=\HWn。即有具体步骤:
iij
1）将矩阵A=（a）的每一列向量归一化得：
W
ij
a
ij
2）对归一化以后的列向量各元素：
W
ij
按行
a
ij
求和”
并开n次方
ijmin
20
21
根得：W=
i
20
21
8
21
~W
(3)：W=一-in~
i=1
1
HW}
ij
='=1-得到特征向量近似值:
、丄
X|Hw
ij
i八j=1丿
(W)
1
W
2
1
(4)计算最大特征根：九=-工
maxn
(AWL作为最大特征根的近似值。
Wi
注：“根法”是将“和法”中求列向量的算术平均值改为求几何平均值。
“幂法”求最大特征根
任取n维归一化初始向量W(0)
计算J~(k+1)=AW(k),k=0,1,2,…
I~(k+1)归一化，即令：W(k+1)=W(k+1/
/YJ~(k+1)
fi=1
对预先给定的8，当W(k+1)-W(k)|<8(i=1,2,…,n)时，W(k+1)即为所求的
ii
特征向量；否则返回(2)
计算最大特征根，九=1Y
maxnW(k)
i=1i
以上用幕法求最大特征根九对应特征向量的迭代方法，limAke=W，其中
maxkT8eTAke
e=
W是对应九的归
max
化向量b特征。其中，W(0)任意选取，也可以取由“根
I1-
(W)
1
・W
法”“和法”得到的W=2
1W
n
10
21
注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。
10
21
（二）利用一致性指标C-1,随机一致性指标C-R和一致性比率作一致性检验
其中C-1
max
n一1
C-1
RTF
定义R-1的修正值表为:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R•I
（三）若通过检验（即C-R<，或C-1<）则将上层出权向量W二:
W丿
归一化之后作为（B到A）的权向量（即单排序权向量）
jj
（四）若C•R<，则需重新构造成对比较矩阵
四、层次总排序及一致性检验
1•利用单层权向量的权值W二j
n
m构组合权向量表:并计算出
特征根，组合特征向量，一致性检验。
单\层
层\
下层量\
层次
AA…Am
111
（W）
一1
计算组合权向量可=…
W
l"n丿
其中WaW
ijij
j=1
aa…a
12m
B
1
B
2
B
n
WW…W
121m
WW…W
222m
WW…W
n1n2nm
W=区ab
]j1jW=£ab
j2jj=1
W=£ab
njnj
j=1
20
11
最大特征