文档介绍：高中数学最值问题解法讨论
高中数学最值问题解法讨论
在高三复****中，学生经常为一些最值问题而头疼，，以期培养学生思维的灵敏性.
题目：a，b均为正数，且满足1a+高中数学最值问题解法讨论
高中数学最值问题解法讨论
在高三复****中，学生经常为一些最值问题而头疼，，以期培养学生思维的灵敏性.
题目：a，b均为正数，且满足1a+2b=14
，求a+b+a2+b2的最小值.
分析：，求a+b+a2+b2的最小值有如下的方法.
方法一：将目的函数线性化，运用均值不等式求最值
将a2+b2转化为一次形式的途径有很多，这里使用不等式a2+b2asin+bs〔a0，b0〕来线性化，该不等式简证如下.
证明：假设asin+bs0，不等式显然成立.
当asin+bs0时，a2+b2asin+bs
〔a2+b2〕2〔asin+bs〕2〔1-sin2〕a2-2absins+〔1-s2〕b20a2s2-
2absins+b2sin20〔as-bsin〕20，而〔as-bsin〕20显然成立，所以a2+b2asin+bs①成立〔当且仅当as=bsin时取等号〕，综上，不等式成立.
因此，a+b+a2+b2a+b+asin+bs=〔1+sin〕a+〔1+s〕b.〔当且仅当as=bsin时取等号〕
由1a+2b=14，可得4a+8b=1.
〔1+sin〕a+〔1+s〕b=〔4a+8b〕[〔1+sin〕a+〔1+s〕b]=4〔1+sin〕+8〔1+s〕+4〔1+s〕ba+8〔1+sin〕ab
4〔1+sin〕+8〔1+s〕+8〔1+s〕〔1+sin〕②〔当且仅当4〔1+s〕ba=8〔1+sin〕本文由论文联盟搜集整理ab时取等号〕.
根据不等式①，as=bsinba=ssin=1tan=
1-tan222tan2.
根据不等式②，
4〔1+s〕ba=
8〔1+sin〕abb2a2=
2〔1+sin〕1+s
=2〔sin2+s2〕22s22
=
〔1+tan2〕2ba=1+tan2〔a0，b0〕.
由以上两式可得：1+tan2=1-tan222tan2
，解得tan2=13.
所以ba=1+tan2=1+13=43，再结合条件4a+8b=1，可求得a=10，b=403.
将a=10，b=403代入a+b+a2+b2，求得最小值为40.
方法二：将目的函数齐次化，构造函数求最值
a+b+a2+b2=〔a+b〕2-〔a2+b2〕2〔a+b〕-a2+b2
=2aba+b-a2+b2.
由1a+2b=14
得：4b+8a=ab.
将ab=4b+8a代入2aba+b-a2+b2得：
a+b+a2+b2=
8b+16aa+b-a2+b2=
8ba+161+ba
-1+〔ba〕2
.
令x=ba，构造函数f〔x〕=
8x+161+x-1+x2〔x0