文档介绍：实验课：主成分分析
实验目的
理解主成分（因子）分析的基本原理，熟悉并掌握SPSS中的主成分（因子）分析方法及其主要应用。
一、相关知识
1概念
因子分析（Factoranalysis）：就是用少数几个因子来描述许多指标或因素之间ser-Meyer-Olkin)检验
巴特利特球形检验
该检验以变量的相关系数矩阵作为出发点，它的零假设H0为相关系数矩阵是一个单位阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都为1,而所有非对角线上的元素都为0,也即原始变量两两之间不相关。
巴特利特球形检验的统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到。如果该值较大，且其对应的相伴概率值小于用户指定的显著性水平，那么就应拒绝零假设H0,认为相关系数不可能是单位阵，也即原始变量间存在相关性。
反映象相关矩阵检验
该检验以变量的偏相关系数矩阵作为出发点，将偏相关系数矩阵的每个元素取反，得到反映象相关矩阵。
偏相关系数是在控制了其他变量影响的条件下计算出来的相关系数，如果变量之间存在较多的重叠影响，那么偏相关系数就会较小，这些变量越适合进行因子分析。
KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)检验
该检验的统计量用于比较变量之间的简单相关和偏相关系数。
KMO值介于0-1，越接近1，表明所有变量之间简单相关系数平方和远大于偏相关系数平方和，越适合因子分析。
其中，Kaiser给出一个KMO检验标准：KMO>，非常适合；，适合；,—般；，不太适合；，不适合。
因子分析中有很多确定因子变量的方法，如基于主成分模型的主成分分析和基于因子分
析模型的主轴因子法、极大似然法、最小二乘法等。前者应用最为广泛。
主成分分析法（Principalcomponentanalysis）：
该方法通过坐标变换，将原有变量作线性变化，转换为另外一组不相关的变量Zi（主成分）。求相关系数矩阵的特征根入i（入1,入2,…，入p>0）和相应的标准正交的特征向量li；根据相关系数矩阵的特征根，即公共因子Zj的方差贡献（等于因子载荷矩阵L中第j列各元素的平方和），计算公共因子Zj的方差贡献率与累积贡献率。
^i(i=1,2,…,p)
£九
k
k=1
工九
k.
:k=1—(i=1,2,…，p)
£九
k
k=1
主成分分析是在一个多维坐标轴中，将原始变量组成的坐标系进行平移变换，使得新的坐标原点和数据群点的重心重合。新坐标第一轴与数据变化最大方向对应。通过计算特征根（方差贡献）和方差贡献率与累积方差贡献率等指标，来判断选取公共因子的数量和公共因子（主成分）所能代表的原始变量信息。
公共因子个数的确定准则：1）根据特征值的大小来确定，一般取大于1的特征值对应的几个公共因子/主成分。2）根据因子的累积方差贡献率来确定，一般取累计贡献率达85-95%的特征值所对应的第一、第二、…、第m（mWp）个主成分。也有学者认为累积方差贡献率应在80%以上。
因子变量的命名解释是因子分析的另一个核心问题。经过主成分分析得到的公共因子/主成分Z1,Z2,„,Zm是对原有变量的综合。原有变量是有物理含义的变量，对它们进行线性变换后，得到的新的综合变量的物理含义到底是什么？
在实际的应用分析中，主要通过对载荷矩阵进行分析，得到因子变量和原有变量之间的关系，从而对新的因子变量进行命名。利用因子旋转方法能使因子变量更具有可解释性。
计算主成分载荷，构建载荷矩阵A。
(i,j=1,2,…，p)
|-
-]
a
a
♦♦♦
11
12
1m
a
a
♦♦♦
21
21
2m
=
…
…
a
a
♦♦♦
1-p1
p1
pm」
A=
12
21
1m
pm
m-1
V
x=az+azHFaz
1111221pp
x=az+azHHaz
2112222pp
x=az+azHHaz
Jmm11m22mpp
z=lx+1xHFlx
11111221pp
z=lx+1x+•…+1x
v22112222pp
z=lx+lxHFlx
m11m22
计算主成分载荷，构建载荷矩阵A。载荷矩阵A中某一行表示原有变量Xi与公共因子/因子变量的相关关系。载荷矩阵A中某一列表示某一个公共因子/因子变量能够解释的原有变量Xi的信息量。有时因子载荷矩阵的解释性不太好，通常需要进行因子旋转，使原有因子变量更具有可解释性。因子旋转的主要方法：正交旋转、斜交旋转。
a
11
a
12
♦♦♦
1m
-