文档介绍：泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)
实变函数与泛函分析第四章****题01-15
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第五章****题第一部分01-15
M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间．
[证明] 显然span(*维数为n。
证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明] 设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X ® X**是保范的线性同构，故X**必定是无穷维空间．由前面的****题16知道X*必然也是无穷维的．
设X是赋范空间，M为X的子集，xÎX。证明：xÎ cl( span(M) )的充分必要条件为"f Î X*，若f (M) = 0则f (x) = 0．
[证明] 设xÎ cl(span(M))，则对"f Î X*，若f (M) = 0，由于f是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M))) = 0，从而f (x) = 0．
反过来，设xÎcl(span(M))，则d(x, cl(span(M))) > 0．由Hann-Banach定理，存在f Î X*，使f (cl(span(M))) = 0，且f (x) = d(x, cl(span(M))) > 0，得到矛盾．
验证极化恒等式。
[证明] 我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的．
|| x + y ||2 - || x - y ||2 = < x + y, x + y > - < x - y, x - y >
= (< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y> ) - ( < x, x > - < x, y > - < y, x > + < y, y >)
= 4< x, y >．
证明由内积导出的范数|| x || = < x, x >1/2满足范数定义的三个条件。
[证明] 前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上，
|| x + y ||2 = < x + y, x + y > = || x ||2 + < x, y > + + || y ||2
= || x ||2 + 2 Re(< x, y >) + || y ||2 £ || x ||2 + 2 | < x, y > | + || y ||2
£ || x ||2 + 2 || x || · || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||)2．所以三角不等式成立．
证明内积空间中的勾股定理。
[证明] 设x = x1 + x2，且x1 ^ x2．则< x1, x2> = < x2, x1> = 0，所以
|| x ||2 = || x1 + x2 ||2 = < x1 + x2, x1 + x2> = < x1, x1 > + < x1, x2 > + < x2, x1 > + < x2, x2>
= < x1, x > + < x2, x2> = || x1 ||2 + || x2 ||2．
设X是内积空间，，。证明：。
[证明] 对，因，得，故，所以。
设X是内积空间，，。证明：。
实变函数与泛函分析第四章****题01-15
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[证明] 对，由，及，知，故。所以。
设H为