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摘 要I
1引言1
2矩阵间的三种关系1
矩阵的等价关系1
矩阵的合同关系2
. 矩阵的相似关系2
3 矩阵的等价、合同P，n级可逆矩阵Q，使.
(6)(Schur定理) 任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于其中为矩阵A的特征值.
： 假设为矩阵，并且，则一定存在可逆矩阵〔阶〕和〔 阶〕，使，其中为阶单位矩阵.
：设是两矩阵，则当且仅当.
矩阵的合同关系
：设均为数域上的阶方阵，假设存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵〔假设数域上阶可逆矩阵为正交矩阵〕，由矩阵的合同关系，得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
：
〔1〕反身性：任意矩阵都与自身合同.
〔2〕对称性：如果与合同，则也与合同.
〔3〕传递性：如果与合同，又与合同，则与合同.
(4) 合同的两矩阵有一样的二次型标准型.
(5) 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.
(6) 矩阵合同与数域有关.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
定理 ：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
. 矩阵的相似关系
设均为数域上阶方阵，假设存在数域上阶可逆矩阵使,则称矩阵与为相似矩阵〔假设级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵〕.
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵
(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得
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(1)反身性 : ;
(2)对称性 :由即得;
〔3〕传递性: 和即得
(4) 〔其中是任意常数〕；
(5〕；
(6〕假设与相似，则与相似〔为正整数〕；
(7) 相似矩阵有一样的秩，而且，如果为满秩矩阵，则.
即满秩矩阵如果相似，则它们的逆矩阵也相似.
(8〕相似的矩阵有一样的行列式；
即：如果，则有：
(9〕相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设，假设可逆，.
假设不可逆，则不可逆，即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
相似矩阵的特征值一样.
相似矩阵有一样的迹
、合同和相似之间的联系与区别
矩阵的相似与等价之间的关系与区别
相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时假设记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵,等价，与并不相似，即等价矩阵未必相似．
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理
定理 ：对于阶方阵，假设存在阶可逆矩阵 使,(与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似．
证明：设对于阶方阵与,假设存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知
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,假设记,则,也即,则矩阵也相似．
矩阵的合同与等价之间的关系与区别
定理：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设阶方阵合同，由定义2得，存在阶可逆矩阵，使得，假设记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵,等价，与并不合同，即等价矩阵未必合同．
什么时候等价矩阵是合同的.
只有当等价矩阵的正惯性指数一样时等价矩阵是合同矩阵
矩阵的合同与相似之间的关系与区别
合同矩阵未必是相似矩阵
例 单位矩阵 E 与 2E.
两个矩阵的正负惯性指数一样故合同
但作为实对称矩阵的特征值不同, 故不相似
相似矩阵未必合同
例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=P\BP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵
定理： 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．
证明：假设存在一个正交矩阵,即使得即，同时有，所以与合同.
同理可知，假设存在一个正交矩阵，使得即与合同，则有
定理：如果与都是阶实对称矩阵，且有一样的特征根．则与既相似又合同．
证明：设与的特征根均为，由于与阶实对称矩阵，一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同时，一定能找到一个正交矩阵使得，从而有
将上式两边左乘和