文档介绍：第九节 曲线与方程
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一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或者适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f第九节 曲线与方程
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一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或者适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.
(1)建系:建立适当的平面直角坐标系;
(2)设点:用有序实数对(x,y)表示轨迹上任意一点的坐标;
(3)列式:写出适合条件的点的集合,并且用坐标表示这一条件,建立方程f(x,y)=0;
(4)化简:化简方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)检验:检验以化简后的方程的解为坐标的点是否都在曲线上.
直接法、定义法、相关点法、待定系数法、数形结合思想.
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典例1 (2015·湖北高考)一种作图工具如图1所示,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),,AB所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程.
(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
【解题思路】(1)依题意构造等式,结合圆的方程求解;(2)对直线l的斜率不存在与存在的情况分别讨论.
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曲线方程的求解方法
:根据形成轨迹的几何条件和图形性质,直接写出所求动点坐标满足的关系,即题中有明显等量关系的或者可以用平面几何知识推出等量关系的,这时只要将这种关系“翻译”成含x,y的等式,通过化简、整理就可得到曲线的轨迹方程,由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊技巧,故称之为直接法.
:如果动点的轨迹满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,这时可以根据轨迹的定义直接写出轨迹方程.
:根据条件可以确定曲线的类型,这时可以先设出其方程,再根据条件确定待定的系数,即根据题意建立方程或方程组,求解即可.
(点代法):如果所求动点是由于另外一个动点的运动引起的,而另外一个动点又在一条已知曲线上运动,这时通常是设法用所求动点的坐标表示已知曲线上的动点的坐标,再将它代入已知曲线的方程即可.
:如果难以直接找到动点坐标之间的关系,可以借助中间变量,即参数,建立起动点坐标之间的关系,,解题的一般步骤为:引入参数——建立参数方程——消去参数(注意等价性),得到一个等价的普通方程.
:如果要求两条动曲线交点的轨迹问题,这时一般是通过联立动曲线的方程构成方程组,通过解方程组得到交点坐标(含变量参数),再消去参数得到所求交点的轨迹方程,这种方法经常与参数法并用.
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典例 (2015·广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若