文档介绍：不等式解题技巧
近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的 一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是，高考中可以用''放缩法"证明不等式的频率很高，它是思考不等关- 32
证明： W*<
n 〃(〃一 1) n — 1 n
i i i i , i 1 i
+—<1+—+( +
F 22 3* n2 2* 2 3
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根
据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知an=5n-4 ,证明：不等式寸5“皿-』皿孔〉1对任何正整数秫,"都成立.
证明：要证而二-应厂>1,只要证5anm>l + aman+2^aman .
因为 用〃一4, ctman = (5m-4)(5h-4) = 25mn-20(m + n) +16 ,
故只要证 5(5mn-4)> 1 + 25mn-20(m+m) +16 + 2ylaman ,
即只要证 20m+20n - 37 > 2^anfln .
因为2丁。新〃 <am+an =5m+5〃一8 <5m + 5n-8 + (15m + 15n-29) = 20m+ 20^-37 , 所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2^^<am+an放大即可.
8、先适当组合，排序，再逐项比较或放缩
例8、.已知i, m> 〃是正整数，且IViWmV乃.
证明：TUm (2)证明：(1+勿)〃>(1+刀)〃
证明：(1)对于 1 且 A\ -m (m—z+1),
_ m m-1 m-i + 1 同理 A\_〃 n-1 n-z+ 1
ml m m m nl n n n
由于m<n,对于整数七1, 2,…，，一 1,有 ~ >—―, n m
所以 U>即〃z，a；, >"A；,
n m
由二项式定理有：
(l+m)n=l+C \ m+C : m2+,,,+C : m”,
(1+<M+CM+C 用+...+CJX，
.... A ； A <
由⑴知 fft'A： >n'A；“ (l<i^m<n ),而 Clm-—^-,Cn i\ i\
777!C!„>77!C!,„(1 <m<n)
m°C ? =〃°C * = 1, mC \ =nC ；„ =m • n, m2C >n2C , …，
rnmC：>«mC：, mm+1C：+1 >0,…，mnC： >0,
.L 1+C ；, ;??+C^ m2+•••+€" m"> 1+C \ n+C2,„n2+---+C ™ nm,
即(1+初">(1+"产成立.
以上介绍了用“放缩法''证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征 选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以 化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得 不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正 确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂 弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培 养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步 的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热 点， 文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求 解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.
先求和后放缩
｛。"｝的前"项的和S”，满足2花7 =。”+1,试求：
数列｛%｝的通项公式；
设々,=—-—,数列｛々,｝的前"项的和为B”,求证：Bu <-
anan+l 2
解：(1)由已知得4S. =(4+1)2,如22时，4S〃t =(%_]+1尸，作差得：
4。" +2。" --2% ,所以(an + an_x)(an -an_x -2) = 0 ,又因为｛%｝为正
数数列，所以an -an_x = 2 ,即｛%｝是公差为2的等差数列，由2J矿=%+1,
得 ％=1,所以。"=2〃 一 1
"土 — (2"])(2〃 + 1) PS" — ] —2〃 + ])'所以
D 1 1 . 1 1 1
" 2 3 3 5 2n-l 2n + l 2 2(2〃 + 1) 2
注：