文档介绍：第三章期权价格的性质
在第一章里,我们定性地讨论了期权价格的性质。我们不但描述了影响期权价格的各种因素,而且讨论了在各种情况下期权的支付。在这一节里,我们将应用无套利原理严格证明欧式期权价格的一些重要的性质。需要强调的是,我们并不对标的资产的未来价格的分布作任何假设。在上一章中,我们利用标的资产和债券合成构造远期合约和期货合约,投资银行可以利用这种方法来为远期合约和期货合约做市及对冲风险。同样地,在本章中,我们利用合成构造期权的方法来为期权做市及对冲风险。我们仅仅研究以同一种资产为标的物的看涨和看跌期权价格之间最基本的关系。本章主要内容:美、欧式期权价格的上下界;美式期权的提前执行;红利对期权价格的影响;看涨和看跌期权价格之间的平价关系。
我们不妨假设标的物为某种股票,其在时间的价格为,期权的执行价格为,到期日为一期,即,,无风险利率为(或者),按离散或者连续方式计算复利。我们以分别表示欧式看涨、美式看涨、欧式看跌、美式看跌期权在时间的价格。
、下界
由第一章内容,期权价格受标的股票的价格、执行价格、标的股票的价格的方差、到期日、无风险利率和到期日之前标的资产的预期红利六种因素的影响。
上界
美式或者欧式看涨期权的持有者拥有以一定价格购买一份股票的权利,所以在任何情形下,期权的价值不会超过标的股票的价格
否则,买入股票,卖空看涨期权就能获得套利机会。
例子:标的股票价格为30元,执行价格为25元的看涨期权,其价格不超过30元(不管是美式还是欧式)。如果价格为40元,如何构造套利机会?
看涨期权的价格永远不会超过标的股票的价格。即使执行价格为零,期权永远不到期,期权的价格也至多为。甚至在这种极端情形下,期权的价格也可能比标的股票的价格低,因为股票有选举权,而期权没有。
美式或者欧式看跌期权的持有者拥有以执行价格卖一份股票的权利,所以在任何情形下,期权的价值不会超过
对欧式看跌期权而言,我们知道它在到期日的价格不会超过,所以
否则,卖出期权,投资在无风险利率,获得套利
例子:=5%,=30元, =25元,
以不支付红利股票为标的物的欧式期权价格的下界
我们在这里仅仅关注标的股票的价格和执行价格的影响,所以,我们可以把看涨期权在时间的价格写成,。下面,我们讨论第一条性质。
性质1: (1)
当期权被执行的概率严格位于0和1之间时,即,在到期日,股票价格大于执行价格的概率严格位于0和1之间,上述不等式严格成立。
证明:我们证明严格不等式。考虑如下的策略:卖空一份标的股票,买一份欧式看涨期权,再以无风险利率借出。该策略的初始成本为,到期日的支付为:
当时。
因为策略的期末支付是非负的,且严格为正的概率大于0,所以,由无套利原理,初始成本也应该严格大于零。即有,
>0。
这个不等式等价于
。(2)
最后,因为期权的持有者只有买标的物的权利而没有必须买的义务,所以期权的价格是非负的。又因为假设期权被执行的概率严格位于0和1之间,所以期权的价格严格大于零,即,。这个式子与(2)式结合起来,得到我们需要的结果。#
注:(1)在性质1中,我们是针对时间0的价格讨论的,该性质对到期日以前的任何时间均成立,只需把(1)式中角标由0换成,并对执行价格的折现作相应的修改。
(2)通过类似的方法,我们可以得到以不支付红利股票为标的物的欧式看跌期权价格的下界为
。
(3) 这个性质的直观意义在于,如果在期末必须以价格买一份股票,这种义务的现值为。当股票价格小于执行价格的概率严格位于0和1之间时,不买股票的权利的价值严格大于零。因此,欧式看涨期权的的价格严格大于
。另一方面,由于期权被执行的概率是严格正的,所以,。
例子:欧式看涨期权
假设标的股票的价格为55元,执行价格为50元,期权三个月到期,%,在这3个月内,股票不支付红利,求欧式看涨期权价格的下界,如果期权的价格为4元,如何构造套利机会。
例子:欧式看跌期权
3个月到期的欧式看跌期权,执行价格为50元,股票价格为45元,%,在这3个月内,股票不支付红利,求欧式看跌期权价格的下界,如果期权的价格为3元,如何构造套利机会。
性质2:欧式看涨期权的价格是其执行价格的凸函数,即,
(3)
这里,,。当的概率严格正时,上式中的严格不等式成立。
证明:考虑如下的策略:买入份以为执行价格的欧式看涨期权,买入份以为执行价格的欧式看涨期权,卖空一份以为执行价格的欧式看涨期权。这个策略在时的成本为。不失一般性,假设。这个策略在到期日的支付为:
0 如果,
如果,
如果,
如果,
在任何情况下,支付均为非负的。因此,由无套利原