文档介绍：1第三节相似矩阵第四章一、相似矩阵及其性质二、方阵与对角阵相似的充要条件 2,如果存在可逆矩阵, C 使: 、为阶方阵 nBAB AC C?? 1则称与相似( A相似于 B), ABC为A变B的相似变换矩阵. 相似矩阵矩阵的相似关系可以用来简化矩阵的计算. 对 A 进行运算, 1 AC C ?称为对 A进行相似变换. 一、相似矩阵及其性质在第二章中讨论了两个矩阵的等价关系, ~ 3 , E A E B ? ?? ?? 1, B C AC ??(3) 见第二章第五节. A相似于矩阵 B,则(1) (2) (3) 行列式相等; : (1) AC CEBE 1??????CAEC)( 1????CAEC???? ???特征值相同; )()(BRAR??? AC CB 12 ?? 1 C A C ??A? BA? 1 E C EC ? ???4 ( 4 ) 12n A B ???? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? 1, nii????????? ni ii ni iiba ??????其中λ 1,λ 2,…,λ n是 A 的特征值. 5 m m AC CB)( 1??(1) 相似, 已知与相似, AB则(5) 111)( ???? AC CB 1, m C A C ?? C存在可逆矩阵,使证明: , A B ~ 1. C AC B ??)() )(( 1 11 AC C AC C AC C ?????. m mBA故~ (2) 1111)( ?????CAC. 11CAC ???. 11??BA故~(3) AC CB 1?? CAC 1??.A? 1???BBBCACA 11??? CAAC 11???. 1CAC ???故. ??BA~ * * A B 与 1 1 A B ? ?与, m m A B 与若A ,B可逆, 解解: : 设与相似, BA ,100 00 001;10 120 001??????????????????????bBa A, ii ii A B a b ? ??????? ?;ba(1)?(2)求例1.????????ba ba23 ,2??ba (1)利用性质 4( (2 2)利用性质)利用性质 1 1 BEAE???55 32 400 020 004?? 7 例2.(1)求设(1)由性质 4, 解得,10 100 002???????????x A相似于,BA , , x y ?????????y yx22 ,0??yx (2),1,2?,100 00 002????????????yB 3 . A E ?(2)求解:利用性质 1, EA3?EB3?? 5 0 0 0 4 0 40 0 0 2 ? ? 8 设方阵 A ~B,则A、B的特征值均为.,, 21n????而对角阵 1n??? ?? ???? ?? ?? ??的特征值也是.,, 21n????能否存在可逆矩阵 C,使 1. C AC ???矩阵 A相似于对角阵Λ是以下讨论的问题. 方阵与对角阵相似的条件: 9 证明: ),,2,1(niX AX iii????设),,,( 21n AX AX AX?),,,( 2211nnXXX?????),,,( 21nXXXA???????????????? n nXXX????? 2 1 21),,,( 定理,),,,( 21nXXXC??,),,,( 21n diag ?????? n A阶方阵相似于对角矩阵, n个线性无关的特征向量. 当且仅当 A有令则 1. C AC ???二、方阵与对角阵相似的充分必要条件 10 推论 1 ),,2,1(nii??列是 A的对应特征值 i?设 AC与都是阶方阵, n C可逆, ),,,,( 21n diag ??????则??? AC C 1C当且仅当矩阵的第,),,,( 21nXXXC??, 即当 A有n个线性无关的特征向量时, 则C可逆, 1 , ~ . C AC A ??? ?