文档介绍：函数的奇偶性
复****平面直角坐标系中的任意一点Ｐ（a,b)关于Ｘ轴、Ｙ轴及原点对称的点的坐标各是什么？
（1）点Ｐ（ a, b)关于 x轴的对称点的坐标为Ｐ（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，函数的奇偶性
复****平面直角坐标系中的任意一点Ｐ（a,b)关于Ｘ轴、Ｙ轴及原点对称的点的坐标各是什么？
（1）点Ｐ（ a, b)关于 x轴的对称点的坐标为Ｐ（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；
（2）点Ｐ（ a, b)关于 y轴的对称点的坐标为Ｐ（ - a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数；
（3）点Ｐ（ a, b) 关于原点对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数．
观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类
O
x
y
①
②
O
x
y
③
O
x
y
④
O
x
y
O
x
y
⑤
这些函数图像体现着哪种对称呢？
关于y轴对称：
关于原点对称：


x
y
o
x
y
o
观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
轴对称。
，当自变
量取一对相反数时，相应的两个函数值
相等。
我们能否利用数学语言来描述此类函数图象的特征呢？
思考：
y=x2
当x1=1, x2= -1时，f(-1)=f(1)
当x1=2, x2= -2时，f(-2)=f(2)
对任意x，f(-x)=f(x)
-x
x
如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
偶函数定义：
再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点
规律呢？
O
x
y
.
,相应的两个函数值相反.
我们同样可以利用函数解析式来描述函数图象的这个特征。
结论：
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）= -f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
思考:偶函数与奇函数图象有什么
特征呢?
奇函数定义：
偶函数的图像特征
x
o
y
函数y=x2的图像
偶函数的图象
关于Y轴对称.
x
y
奇函数的图像特征
O
函数y=x3的图像
奇函数的图象
关于原点对称.
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，
即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
例1、用定义判断下列函数的奇偶性：
(1)解：定义域为R ∵
即
∴ 是偶函数
即
∴ 是奇函数
(2)解：定义域为R
即
∴ 是奇函数
即
∴ 是偶函数
(4)解：定义域为
∵
(3)解：定义域为
∵
该函数是非奇非偶函数
该函数是非奇非偶函数
定义域不关于原点对称的函数都是非奇非偶函数
课堂练****判断下列函数的奇偶性。
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
若f(-x)=f(x)，则为偶函数