文档介绍：案例：导数的应用
北京十九中学金永涛
学****目标：
内容：导数与函数单调性、函数的极值、最值的关系；
能力：掌握应用导数求解函数的单调区间、极值与最值，并讨论函 数的单调性：
情感、态度、价值观：提高学生应用数形结合思想与分类讨论思别为(—8,0)、(1,+8)。
其中，极小值/(0) = -1,但x = l不是极值点。
注：作出函数的草图
①关键点：与X轴的交点为点(1,0 )：
极值点为(0,-1),工=1不是极值点，而是渐进线。
②函数图像的整体走势：
当 XTf 时，J・(x) V 0 J(x) T 0 ： " •
当 x +ooR4» /(a) > 0, f(x) 0 o 2一
由x=l是/•")的渐进线，贝IJ '■
当 X—>1 时，/(X)T+S
2 r-1 2-
则fM =上一、的图像大致为：
以具体的函数为载体，深入细致地研究函数的相关性质，并发现其中 的规律。进而应用于含参类型的抽象函数问题中。
二、巩固提高：
例 1： f(x) = -xi-cix2-3a2x + \,求/'(x)的单调区间。
分析：三次函数确定单调区间，求导转化为二次不等式时，须注意：
二次函数的开口方向：
二次方程中，两根的大小关系；
根据需要，对字母系数的分类讨论：
3a 一 (—6/) = 4a
解：f\x) = x2 -2ax-3a2 = (x + a)(x-3a)
当a = 0时，ff(x) = x2 >0,则/Xr)在R上是增函数: 当。> 0 时，3ci > —a >
令 f\x) > 0 => x > 3"或x < 一。: f\x) v。=> 一。v x v 3。
则f{x)的增区间分别为(-00,-67)、(36/,4-00),减区间为(-a,3d):
当。< 0时，一。> 3a
令广⑴ > 0 => x > 一白或x v 3a : f\x) v 0 n v x v 3。
则f(x)的增区间分别为(一00,3〃)、(—々,+s)，减区间为(3",—白):
巩固练****br/>2x — h
1、fW =—一，求广⑴，并确定/(X)的单调区间。
(xT)・
分析：(1)分式函数、根式函数与对数式函数问题中，先明确函数定义域:
分式不等式的求解一一转化为整式不等式(同解变形)；
根据需要，对字母系数的分类讨论：
=0<=>/? = 2
(■-1)-1= — -2(>0 = )>2
< 0 <=>/?< 2
解：由题得，JVW1
、 2(x —1)~ — (2工一/?)• 2(x —1) 2(a — 1) — 2(2x —Z?)
f ⑴= —-7-i = -―
(x-l) (工一1)
广(、.)=2(丁 1)2(2乙.) = - 2[x (/? 1)]
当b = 2时,
、-2[x-伯-1)] -2
(.5 =E
<0
/(X)在(—s,l)、(1,+s)上分别为减函数;
当Z?v2时，b-\<\
令 /'(x)>On(x — l)[x — (Z? — l)]vOn/? — lvxvl
广⑴ vO = (x — l)[x — (Z? — l)]>O = xvZ? — g>l
/(X)的增区间为0 — 1,1)，减区间分别为(―S» — l)、(L+S)；
当Z?>2时，b-\>\
令 f'M > 0 => (x- l)[.v-(Z?-1)] <0=>1<x</?-1
广⑴ vO=>(x — l)[x — (Z? — l)] >Onxvl或x>O — l
/(x)的增区间为(1,0 —1),减区间分别为(-00,1)、(b -1,4-00):
1 ■ 1 .
2、函数/(工)=一(“一2)疽一_(3"-5)疽+2色一1)心 求f\x),并确
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定/(X)的单调区间。
分析：在求解含字母系数的二次不等式的过程中，须注意
若亍系数含字母，判断是否二次：
对应二次函数的开口方向：
当。一2>0,开口向上：当a-2<0开口向下：
(2)对应二次方程两根的大小关系：
=0 =。= 3
(I — 1 - 3 —(i 八 — C
2 = 〈>0=2vc/v3
。一2 " — 2 仔
v 0 = o v 2虱 1 > 3
解：/ '(X)=(6/ — 2)x2 — (3u — 5)x + 2(。— 1) = (x — 2)[(白—2)x — (a — 1)]
当a = 2时，f(x) = -^x2 +2x
/(X)的增区间为(―s,2),减区间为(2,+s)；
当 a = 3时，/\x) = (x-2)2 >0
/(x)在R上是增函数;
当a>3时，。一2>0,——<2
。一