文档介绍：拉普拉斯方程（Laplace's程。
equation
），又名调停方程、位势方程，是一种偏微分方定义
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述复平面上以原点
为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即
将每一项系数适合地分别出实部和虚部
那么
这便是f 的傅里叶级数。
三维拉普拉斯方程
基本解
拉普拉斯方程的基本解知足
其中的三维 δ函数代表位于 的一个点源。 由基本解的定义，若对 u作
用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点
源距离r相关的解中。如果我们采用包含点源、半径为 a的球形域作为积分域，那
么根据高斯散度定理
求得在以点源为中心，半径为 r 的球面上有
所以
经过近似的推导同样可求得二维形式的解
格林函数
格林函数是一种不只知足前述基本解的定义， 而且在体积域 V的边界S上还知足一
定的边界条件的基本解。譬如， 可以知足
现设u为在V内知足泊松方程的任意解 :
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），获得
un和Gn分别代表两个函数在边界 S上的法向导数。考虑到u和G知足的条件，可
将上式化简为
所以格林函数描述了量 f和g对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为 a
的球面内的点上得值可以经过 镜像法求得（Sommerfeld,1949）：距球心ρ的源点
P的经过球面的“反射镜像” P'距球心
需要注意的是，如果 P在球内，那么 P'将在球外。于是可得格林函数为
式中R表示距源点 P的距离，R'表示距镜像点 P'的距离。从格林函数上面的表
示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ
按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲****惯相同，与美国****惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：
式中
这个公式的一个显见的结论是： 若u是调停函数，那么u在球心处的取值为其在球
面上取值的平均。于是我们可以立刻得出以下结论：任意一个调停函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。
水平集
在数学领域中, 一个拥有n变量的实值函数f的水平集是拥有以下形式的会集
{(x1,..., xn)| f(x1,..., xn)= c}
, 使得函数值拥有给定常数的变量会集 .
当拥有两个变量时,称为水平曲线(等高线),如果有三个变量,称为水平曲面,更多变量时,水平集被叫做水平超曲面.
会集
{(x1,..., xn)| f(x1,..., xn)≤c}
被称为 f 的子水平集.
其他名字
水平集拥有很多重要的应用 , 在不同的应用领域平时拥有不同的名称 .
比方,水平曲线也被叫做
隐式曲线(implicitcurve)
用来强调曲线是由
隐函数
(implicitfunction)
(isocontour)的名称,
表示一个
拥有相同高度
(函数值)的轮廓.
在不同的应用领域
,等压线(isobar),
等温线
(isotherm),
同风向线(isogon),
等时线(isochrone)
都属于等值高线.
相应的, 水平曲面有时被叫做隐式曲面(implicit surface) 或等值曲面
(isosurface).
最后, 更加一般的水平集被叫做 纤维(fiber).
例子
比方, 指定一个半径 r, 圆的方程可以定义为一个等高线 .
r2=x2+y2
如果取r=5, 那么等高值为 c=52