数值计算方法34.pdf

文档介绍：: .
Ax  b
x2  x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念
4
2一、差商(均差)
定义1. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为fi ,i  0,1,,n
称
fi  f j
f [xi , x j ]  (i  j)
xi  x j
为f (x)关于节点 xi , x j 一阶差商(均差)
f [xi , xk ] f [xi , x j ]
f [xi , x j , xk ]  (i  j  k)
xk  x j
为f (x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [x , x ,, x ] f [x , x ,, x , x ]
i0 i1 ik1 i0 i1 ik2 ik
f [xi , xi ,, xi , xi ] 
0 1 k1 k x  x
ik1 ik
为f (x)关于节点x , x ,, x , x 的k阶差商
i0 i1 ik1 ik
显然
f [x0 , x1 ,, xk 1 ] f [x0 , x1 ,, xk 2 , xk ]
f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] 
xk 1  xk
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f (x)的k阶差商f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]可由函数值
f (x0 ), f (x1 ),, f (xk )的线性组合表示,且
6
3f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k f (x )
  i
i0 (xi  x0 )(xi  xi1 )(xi  xi1 )(xi  xk )
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如 f [x0 , x1 , x2 ]  f [x0 , x2 , x1 ]  f [x2 , x1 , x0 ]
（k )
(3) 当f (x)在包含节点x0 , x1 ,, xk的区间存在时,
在x0 , x1 ,, xk之间必存在一点 ,使得
用余项的
(k )
f ( ) 相等证明
f [x , x ,, xk ] 