文档介绍：高中数学数列知识点总结数列基础知识点《考纲》要求: 1 、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项; 2、理解等差数列的概念, 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 并能解决简单的实际问题; 3、理解等比数列的概念, 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 并能解决简单的实际问题。数列的概念*1. 数列的概念: 数列是按一定的顺序排列的一列数, 在函数意义下, 数列是定义域为正整数 N或其子集{1,2,3, …… n} 的函数 f(n) .数列的一般形式为 a1, a2,…, an…,简记为{an} ,其中 an 是数列{an} 的第项. 2 .数列的通项公式一个数列{an} 的与之间的函数关系,如果可用一个公式 an= f(n) 来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 3 .在数列{an} 中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为: aa??nnn?1n?2 4 .求数列的通项公式的其它方法⑴公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差( 公比) 确定的方法. ⑵观察归纳法:先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化,哪些因素不变; 初步归纳出公式, 再取 n 的特珠值进行检验, 最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明. ⑶递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化, 得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值,写出数列的一个通项公式. ⑴- 24816 , ,- ,…; 3?55?77?91?3 ⑵1,2,6, 13, 23, 36,…; ⑶1,1,2,2,3,3, 解: ⑴ an=(- 1) 1 2n2n?1 (2n?1)(2n?1) ⑵ an= (3n2?7n?6) (提示: a2- a1=1, a3- a2=4, a4- a3=7, a5- a4= 10,…, an- an-1=1+ 3(n - 2)=3n -5 .各式相加得 1 an?1?[1?4?7?10???(3n?5)] ?1? ?1(n?1)(3n?4)2 1(3n2?7n?6)2 1?12?03?1,,, 222 ⑶将1,1,2,2,3,3,…变形为 4?05?16?0,,,?, 222 1?(?1)n?1 n?2 ∴ an?22n?1?(?1)n?1 ?4 变式训练 1. 某数列{an} 的前四项为 0,2,0,2 ,则以下各式: ① an = n[1 +(- 1)] ② an= ?(?1)n 2 0(n 为奇数)(n 为偶数)③ an= 其中可作为{an} 的通项公式的是()A.①B. ①② C. ②③ D. ①②③解: D例 2. 已知数列{an} 的前 n 项和 Sn ,求通项. n⑴ Sn=3-22⑵ Sn=n+ 3n+1解⑴ an= Sn- Sn-1 (n≥ 2) a1= S1 解得: an= ?2?3 ?1?n?1(n?2) (n?1) ⑵ an= ?(n?1)?5 ?2n?2(n?2) * 变式训练2: 已知数列{an} 的前n 项的和Sn 满足关系式 lg(Sn - 1)=n, (n∈ N) ,则数列{an} 的通项公式为. 解: lg(Sn?1)?n?Sn?1?10n?Sn?10n?1, 当n=1时, a1= S1= 11;当n≥2 时, an= Sn- Sn-1= 10- 10- 1nn =9· 10n-1 .故 an= ?(n?1)??11 n?1?9?10(n?2)? 例 3. 根据下面数列{an} 的首项和递推关系,探求其通项公式. ⑴ a1=1, an= 2an -1+1 (n≥ 2) ⑵ a1=1, an= an?1?3n?1 (n≥ 2) ⑶ a1=1, an= n?1an?1 (n≥ 2)n nn 解: ⑴ an= 2an -1+ 1?(an + 1)= 2(an -1+ 1)(n ≥ 2), a1+1=2. 故: a1+1=2,∴ an=2-1. n- 1n- 23⑵ an=( an- an-1)+( an-1- an-2)+…+( a3- a2) +( a2- a1 )+ a1=3+3+…+3+3+1 = (3n?1) .122 (3) ∵∴ an= ann?1 ?an?1nanan?1an?2an?1n?2?????2?a1??? an?1an?2an?3a1nn?1 n?311????1? n?22n 变式训练 3. 已知数列{an} 中, a1=1, an+1= 解:方法一:由 an+1= 1 an?1?2an 得 an?22an*(n ∈ N) ,求该数列的通项公式. an?211111} 是以?1 为首项,为公差的等差数列. ?,∴{2an2a1a