文档介绍：第十章三角恒等变换
两角和与差的三角函数 -1-
两角和与差的余弦 -1-
两角和与差的正弦 -5-
两角和与差的正切 -8-
-11-
几个三角恒等式 -15-
10*"<%
_兀v_p<_2，
0<Q—片兀・
又 cos(o—")=教，
cos =cos [a~（a —/?）] =cos Q・cos（o—Q）+sin a・sin（Q—Q）
（3、16」4） 63 12
= r5jX65+r5jX65=-T3>
・，. sin g=\j 1 —cos2Q=^.
厂 .反思领悟
利用和（差）角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通 地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和（差），并且这两个角的正、 余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.
在将所求角分解成某两角的和（差）时，应注意如下变换：
a = (a+ &)一p, a=p_(J3一a), a=(2a一g)一(ct一g), 2a=[(a+") + (a—")], 2a =[(^+a) —(/5—a)]等.
提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制.
知识点两角和与差的正弦公式
两角和的正弦公式：
S(a+g): sin(a +&) = sin acos 由+cos asin 8.
两角差的正弦公式：
S(a-阶:sin(a—方)= sin acos 6—cos asin 乃.
辅助角公式
a a . b
玄海广芋寻,sm吁崩专,
贝。有 asin x+Z?cos %=^/o2+Z?2(cos ^sin x
+ sin ^cos %) =^/a2+Z?2sin(x+(p), 其中 tan 9=/ 9 为辅助角.
重点题型
类型1两角和与差的正弦公式的简单应用
【例1】求下列各式的值:
sin 163°sin 223° +sin 253°sin 313°；
(2)
2cos 55°—^/§sin 5°
sin 85°
尝试与发现 (
从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值.
注意角的差异与变换：55。= 60。一5。，85°=90°-5°.
［解］⑴原式= sin 163°sin(90°+133°) + sin(90°+163°)・sin(180°+133°)
=sin 163°cos 133°-cos 163°sin 133°
=sin(163°—133°) = sin 30° =|.
(2)原式=
2cos(60°—5°)—J§sin5。
sin(90°-5°)
cos 5°+0sin 5°—寸sin 5° cos 5°
cos 5°
-cos5o = 1 -
厂 思领悟
对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出 具体数值，一般有以下三种途径：
化为特殊角的三角函数值；
化为正负相消的项，消去求值；
化为分子、分母形式，进行约分再求值.
在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体 分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部 的变换.
提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公 式特点，其次注意角是否满足要求.
类型2给值求值
【例2】 巳知0V0V., .VaV乎，cos.—'日，，此手+”)=寿，求cos(a +»的值.
尝试与发现
注意"手+") —修一《］=壹+0+月)，可通过求出手和乎一a的正、余弦值来 求 COS0+").
［解］由0邛〈朱¥<aV哥得
兀/兀 ,八3 .37：
一3〈厂a<°，y<y+^<71-
=^X5-(-13hH)=_f -
厂 C&思领悟
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来
⑴当“已知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式.
（2） 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差 的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（3） 角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
类型3形如asin x+Ocos x的函数的化简及应用
【例3】（对接教材P54探究）已知函数y（x） = 2sin"+g）—2cos X, *兀,
求函数只力的值域.
尝试与发现
等式asm x+Z?cos x=Asin（x+^）中A和° 一定存在吗？它们与a, b有什么关 系？
［解］fix） = 2sin（x+^—2cos x
=-\/3sin x—cos x=2sin"-