文档介绍：多元统计分析之因子分分析
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目录 基本理论及模型
由模型（）及其假设前提知，公共因子 相互独立且不可测，是在原始变量的表达式中都出现的因子。公共因子的含义，必须结合实际问题的具体意义确定。 叫做特殊因子，是向量 的分量 （ ）所特有的因子。各特殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间也都是相互独立的。矩阵 中的元素 称为因子载荷， 的绝对值大 ，表明 与 的相依程度越大，或称公共因子 对于 的载荷量越大，进行因子分析的目的之一，就是要求出各个因子载荷的值。
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§ 因子分析的基本理论及模型
经过后面的分析我们会看到，因子载荷的概念与上一章主成分分析中的因子负荷量相对等，实际上，由于因子分析与主成分分析非常类似，在模型()式中，若把 看作 的综合作用，则除了此处的因子为不可测变量这一区别，因子载荷与主成分分析中的因子负荷量是一致的；很多人对这两个概念并不加以区分而都称做因子载荷。矩阵 称为因子载荷矩阵。
为了更好地理解因子分析方法，有必要讨论一下载荷矩阵的统计意义与公因子与原始变量之间的关系。
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§ 因子分析的基本理论及模型
的统计意义
由模型()式
（）
即 是 与 的协方差，而注意到， 与 （ ）都是均值为0，方差为1的变量，因此， 同时也是 与 的相关系数。请读者对比主成分分析一章有关因子负荷量的论述并对两者进行比较。
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§ 因子分析的基本理论及模型
2．变量共同度与剩余方差
在上面Spearman的例子中我们提到了共同度与剩余方差的概念，对一般因子模型()式的情况，我们重新总结这两个概念如下：
称 为变量 的共同度，记为 （ ）。由因子分析模型的假设前提，易得：
记 ，则
()
()
上式表明共同度 与剩余方差 有互补的关系， 越大表明 对公共因子的依赖程度越大，公共因子能解释 方差的比例越大，因子分析的效果也就越好。
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§ 因子分析的基本理论及模型
3．公因子 的方差贡献
共同度考虑的是所有公共因子 与某一个原始变量的关系，与此类似，考虑某一个公共因子 与所有原始变量 的关系。
记 （ ），则 表示的是公共因 子 对于 的每一分量 （ ）所提供的方差的总和，称为公因子 对原始变量向量 的方差贡献，它是衡量公因子相对重要性的指标。 越大，则表明公共因子 对 的贡献越大，或者说对 的影响和作用就越大。如果将因子载荷矩阵 的所有 （ ）都计算出来，并按其大小排序，就可以依此提炼出最有影响的公共因子。
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§ 因子载荷的求解
§ 主成分法
§ 主轴因子法
§ 因子旋转
§ 极大似然法
§ 因子得分
§ 主成分分析与因子分析的区别
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§ 因子载荷的求解
因子分析可以分为确定因子载荷，因子旋转及计算因子得分三个步骤。首要的步骤即为确定因子载荷或是根据样本数据确定出因子载荷矩阵 。有很多方法可以完成这项工作，如主成分法，主轴因子法，最小二乘法，极大似然法， 因子提取法等。这些方法求解因子载荷的出发点不同，所得的结果也不完全相同。下面我们着重介绍比较常用的主成分法、主轴因子法与极大似然法。
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