文档介绍：第9章 弯曲变形
第一页，共61页。
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
工程中的弯曲变形问题
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工程实际中的弯曲变形问题
l
x
x
y
F
(4) 建立转角方程和挠度方程
将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁的转角方程和挠度方程分别为：
(5) 求最大转角和最大挠度
自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
wmax
qmax
所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。
第十八页，共61页。
x
l
A
B
q
FA
FB
例2: 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大转角max 。
x
y
解: 由对称性可知, 梁的两个支反力为
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
第十九页，共61页。
积分两次
x
l
A
B
q
FA
FB
x
y
第二十页，共61页。
简支梁的边界条件是
在x＝0处, w＝0
在x＝l处, w＝0
代入(c)、(d)式确定出积分常数
x
l
A
B
q
FA
FB
x
y
第二十一页，共61页。
A
B
q
x
y
qA
qB
wmax
l/2
由对称性可知, 在两端支座x＝0和x＝l处, 转角的绝对值相等且都是最大值
在梁跨中点l/2处有最大挠度值
第二十二页，共61页。
例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并求其最大挠度和最大转角。
x
l
A
B
F
a
b
FA
FB
D
解: 求出梁的支反力为
将梁分为I和II两段, 其弯矩方程分别为
I
II
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梁段I ( 0 x a)
梁段II ( a x l)
两段梁的挠曲线方程分别为
积分一次得转角方程
再积分一次得挠曲线方程
挠曲线方程
注意：在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。
第二十四页，共61页。
D点的连续条件：
在x = a处, q1＝q2, w1＝w2
边界条件:
在x = 0处, w1＝0
在x = l处, w2＝0
代入方程可解得:
x
l
A
B
F
a
b
FA
FB
D
I
II
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梁段I ( 0 x a)
梁段II ( a x l)
将积分常数代入得
转角方程
挠曲线方程
第二十六页，共61页。
将x = 0和x = l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
当a > b时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
x
l
A
B
F
a
b
FA
FB
D
I
II
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简支梁的最大挠度应在w'＝0处。研究第一段梁, 令w'1＝0得
当a > b时, x1< a, 最大挠度确实在第一段梁中
x
l
A
B
F
a
b
FA
FB
D
I
II
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在极端情况下, 当b非常小, 以致b2与l 2项相比可以略去不计时
讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？
x
l
A
B
F
a
b
FA
FB
D
I
II
则：当F从梁中点位置向B支座移动时，b值减小时，（F接近B点时）；
此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。
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梁中点C处的挠度为
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的。
略去b2项, 得
第三十页，共61页。
讨论2: BD段上有无θ=0的点？
x
l
A
B
F
a
b
FA
FB
D
I
II
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条件：由于梁的变形微小, 梁变形后