文档介绍：第二章_维纳滤波和卡尔曼滤波
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平滑或内插：根据过去的观测值 ，估计过去的信号值 。
滤波：已知当前和过去的观测值 ，估计当前 的误差为 ，则
-霍夫方程
将 展开，得
整理得
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对两边取共轭，并利用相关函数的性质 ,得
此式称为维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。解此方程可得到最优权系数 ，此式是Wiener滤波器的一般方程，根据权系数是有限个还是无限个可以分别设计IIR型和FIR型Wiener滤波器。
FIR滤波器 是一个长度为M的因果序列(即 是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为
把 的取值代入上式，得
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则维纳-霍夫方程可写成矩阵形式
时
时
定义
对上式求逆，得
时
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此式表明，已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。
同时可以看到，直接从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法，当 较大时，计算量很大，并需计算 ，从而要求存储量也很大。另外，具体实现时，滤波器的长度由实验确定， 增加，需在新 基础上重新计算。
维纳-霍夫方程矩阵形式
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FIR型Wiener滤波器的最小均方误差
设所研究的信号是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，则
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将 代入得:
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经过了一个通信信道，信道的传输函数 ，在信道输出端加入了白噪声 ，通道模型如图， 传输函数
信道输出 ，假定 与 ， 与 不相关，并都是实信号。
在接收端设计一个长度为2的FIR结构的Wiener滤波器，目的是由 恢复出 。
例:设期望响应 是一个 过程，参数 ，激励白噪声 的方差 ，由白噪声驱动的产生该过程的传输函数为
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时域求解Wiener滤波器很困难，用Z域求解。又因为实际的系统是因果的，维纳-霍夫方程有个 的约束条件，所以不能直接转入Z域求解它的 。
这是因为输入信号与期望信号的互相关序列是一个因果序列。
这里我们利用将 加以白化的方法来求维纳-霍夫方程的Z域解(由波德(Bode)和香农(Shannon)首先提出的方法)。
是一个因果(物理可实现)的最小相位系统。
把信号转化为白噪声的过程称为白化。
白化滤波器
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设计维纳滤波器的问题可转化为求 的问题。
该信号为实信号。 是 的逆Z变换。
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要使均方误差最小，当且仅当
因此 的最佳值为
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两边取Z变换
非因果维纳滤波器的最佳解为
因为 ，且 根据相关卷积定理，得
两边取Z变换
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代入
假定信号与噪声不相关，即 ，有
两边取Z变换，得
代入 表达式，得
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代入 式，非因果维纳滤波器的复频域最佳解
非因果维纳滤波器的频率响应为
幅频特性
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推导滤波器的最小均方误差
(信号不失真，因为没有噪声)
有误差，误差是由于信号谱和噪声谱交叉造成。信噪比 越小，
越小
噪声全部被抑制掉