文档介绍:巧构几何模型 妙解倍角问题
——一道数学试题解法的再探究
,
巧妙地将一个二倍角问题分析
1 构造角平分线模型
利用二倍角形成角平分线模型,从而构造全等(即等腰三角形顶角的外角是其中一个底
角的两倍).
方法 1 如图 2,过点 B 分别作 BE AD , BF AC ,垂足分别为 E , F .
1
∵ AB AD , ABD BAC ,
2
∴ EAB BAC 2 .
由 BC BD ,
易证 BED BFC ,
∴ ADB ACB .
又易证 DBC DAC 180 4 ,
∴ BDC 2 ,故选 由于等腰三角形顶角的外角是其中一个底角的两倍,而ABC 也是等腰三角形
底角 ABD的两倍,即顶角ABD的一个外角与ABC 构成角平分线模型;再利用角平分
线模型向角两边作垂线,构造全等三角形证明角相等;最后利用三角形内角和定理
计算、转化,,也是解决此类问题的重要方法.
方法 2 如图 3,延长 DA 至 E ,使 AE AC .
1
∵ AB AD , ABD BAC
2
∴ EAB BAC 2 .
易证 AEB ACB ,
∴ BE BC BD ,
∴ E ADB ACB .
易证 DBC DAC 180 4 ,
∴ BDC 2 ,故选 A.
点评 同方法 1 类似,利用角平分线模型,在DA 的延长线上截取 AE AC ,构造具
有对称关系的全等三角形,从而产生等腰三角形 BDE ,再用类似的方法转化计算,这种
.
方法 3 如图 4,延长CA 至 E ,使 AE AB .1
∵ AB AD , ABD BAC ,
2
∴ EAB BAD .
易证 AEB ADB,
∴ BE BD BC ,
∴ E ADB A