巧用线段相等证线段倍差.pdf

文档介绍：巧用线段相等证线段倍差
证明角或线段相等的关系是初中数学中一个重要的内容，学生大多能得心应手. 但是有
关角或线段的倍半、和差的问题，学生往往感到比较棘手，为帮助学生掌 与方法 1 不同的
是，它是将较小的角加倍，然后证明它和较大的角相等，即“加倍法”.
方法 3 ∵ BD  AC∴ BDC  90
又 BDC  1 C 180
∴ 1 C  90
∴ 21 2C 180
∵ AB  AC
∴ ABC  C
又∵ A  ABC  C 180
∴ A  2C 180
∴ A  2DBC
”AB 二 AC,
评注 方法 3 是利用角之间的数量关系，经过适当的变换，使得A  2DBC .这
种解法不用添加辅助线，但是却并不容易想到，课堂上只有少数学生能够使用此类方法证明.
三、触类旁通
由此联想，八年级的几何证明题中，也经常遇到线段之间的数量关系，例如线段的和差
关系等，其实与倍半关系类似，也是转化为证明线段相等.
例 2 (八年级课后****题)已知:如图 3，在 ABC 中， B  2C ， BAC 的平分线
交 BC 于 D . 求证: AB  BD  AC .
方法 1 在 AC 上取一点 E ，使 AB  AE ，连结 DE
在 ABD 和 AED 中
AB  AE

BDA  DAE

AD  AD
∴ ABD  AED
∴ BD  DE ， B  AED
又 AED  EDC  C  B  2C
∴ EDC  C
∴ ED  EC
∴ AB  BD  AC
评注 证明线段的和差问题，需要将线段的和差问题转化为证明线段相等的问题. 因
此，方法 1 在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明余下的线段等于另一条短
线段，即“截长法”.
方法 2 如图 4，延长 AB 到点 E ，使 BE  BD ，连结 DE
则有 E  BDE
ABC  E  BDE  2E
又 ABC  2C∴ E  C
在 AED 和 ACD 中
E  C

EAD  DAC

AD  AD
∴ AED  ACD
∴ AE  AC
∴ AB  BD  AB