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文档介绍

文档介绍:第七章数值积分与数值微分
第一页,共55页。
数值积分
微积分基本公式:
(3) f (x) 表达式未知,只有通过测量或实验得来的数据表
但是在许多实际计算问题中
(2) F(x) 难求!甚至有时不能用初等函数表示。 xi –xi-1
*
第十八页,共55页。
稳定性
定义:对  > 0,若存在  > 0,使得当 ( i = 0, 1, … , n) 时,有
则称该求积公式是 稳定的。
定理:若 Ai > 0, i = 0, 1, … , n,则下面的求积公式是稳定的
*
第十九页,共55页。
第七章 数值积分与数值微分
数值分析
—— Newton-Cotes 公式
复合求积公式
*
第二十页,共55页。
本讲内容
公式介绍
代数精度
余项表达式
Newton-Cotes 公式
复合求积公式
复合梯形公式
复合 Simpson 公式
*
第二十一页,共55页。
Newton-Cotes 公式
基于等分点的插值型求积公式
积分区间:[a, b]
求积节点: xi = a + i  h
求积公式:
Cotes 系数
Newton-Cotes 求积公式
*
第二十二页,共55页。
Newton-Cotes 公式
n = 1:
代数精度 = 1
梯形公式
n = 2:
代数精度 = 3
抛物线公式
Simpson公式
n = 4:
科特斯 (Cotes) 公式
代数精度 = 5
*
第二十三页,共55页。
Cotes 系数表
Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 无关
可通过查表获得
*
第二十四页,共55页。
N-C 公式
Cotes 系数具有以下特点:
(1)
(2)
(3) 当 n  8 时,出现负数,稳定性得不到保证。而且当 n 较大时,由于Runge现象,收敛性也无法保证。
当 n  7 时,Newton-Cotes 公式是稳定的
一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式
*
第二十五页,共55页。
N-C 公式代数精度
定理:当 n 为偶数时,Newton-Cotes 公式至少有 n+1 阶代数精度
定理:n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度
证:只要证明当 n 为偶数时,公式对 f (x)=xn+1 精确成立。
x = a + t h
t = n - s

*
第二十六页,共55页。
N-C 公式余项
梯形公式 (n=1) 的余项
Simpson公式 (n=2) 的余项
Cotes 公式 (n=4) 的余项
*
第二十七页,共55页。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
用 复合公式
用 非等距节点
将积分区间分割成多个小区间
在每个小区间上使用低次牛顿-科特斯求积公式
复合求积公式
*
第二十八页,共55页。
复合梯形公式
将 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ,其中
(i = 0, 1, …, n)
复合梯形公式
余项
*
第二十九页,共55页。
复合 Simpson 公式
余项
性质:复合梯形公式和复合Simpson 公式都是收敛的,也都是稳定的。
4
4
4
4
4
*
第三十页,共55页。
举例
解:
例:设 ,利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分 ,并估计误差。
xi
0
1/8
2/8
3/8
4/8
5/8
6/8
7/8

f (xi )
1








*
第三十一页,共55页。
举例
误差估计
*
第三十二页,共55页。
收敛速度与误差估计:
定义
若一个积分公式的误差满足 且C  0,则称该公式是 p 阶收敛的。
~
~
~
例:计算
解:
其中
=
其中
=
第三十三页,共55页。
举例
解:
例:计算定积分
用复合梯形公式和复合simpson公式时,n 分别取多大时才

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