文档介绍：第三章 离散小波变换
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尺度和位移的离散化方法
对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。
第二页，第三章 离散小波变换
第一页，共30页。
尺度和位移的离散化方法
对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。
第二页，共30页。
本章主要内容
尺度和位移的离散化方法
小波框架理论
二进小波变换
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尺度和位移的离散化方法
为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数 的a、τ限定在一些离散的点上取值。
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离散化方法
（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取
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离散化方法
（2）位移离散化。
通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。
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因此在尺度j下，由于 的宽度是 的 倍，因此采样间隔可扩大 ，而不会引起信息的丢失。 可写成：
离散小波变换的定义为：
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一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ=2jτ0
当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 ，此时， 变为：
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一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：
此时，对应的WTf为：
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离散化过程中的两个问题
一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。
二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 为单位的加权和。即
如果可以，系数 如何求？
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小波的框架理论
框架
1 框架的定义
在希尔伯特空间H中有一族函数 ，如果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：
称 是H中的一个框架。
常数A、B的意义。
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框架的定义
若A=B，则称为紧致框架，此时：
如果A=B=1，则
此时， 是正交框架，若 ，
则 是规范正交基。
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对偶函数：
的对偶函数 也构成一个框架，其框架的上下界是 上下界的倒数。即：
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3. 通过框架对原函数进行重建
重构定理：令
为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：
如果A=B=1，这时 是一组正交基，所以重建公式为：
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通过框架对原函数进行重建
在紧框架情况下，
如果 ，我们定义算子S如下：
求逆，得：
这时，只有 ，重构公式才成立。
当 的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。
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4. 框架和Riesz基
Riesz基的定义：
设有 满足下列要求：
便意味着 ，也就是要求 是一组线性独立族。
则称 为一组Riesz基。
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小波框架
：
如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移引出的函数族
具有如下性质：
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我们称 都成了一个框架，上式为小波框架条件。
其频域表示为：
的对偶函数 也构成一个框架。
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（1）满足框架条件的 ，其基本小波必定满足容许性条件。
（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。
（3）离散小波框架 存在冗余性。
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如果离