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常微分方程习题课.pdf

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文档介绍:常微分方程



1 微分方程的基本概念

一.选择题

1.微分方程的阶数是指( B )

(A)方程中未知函数的最高阶数; (B)方程中未知函导数


x  ln x  c x  0.
y 
例 3. xy  x tan  y  0, y(1)  .
x 2
y y y
解 原 式 可 化 为 y  tan   0 , 令  u , 得 xu   tanu , 即
x x x
cosudu dx c y c
  , 两边积分得 ln sinu  ln x  lnc ,即sin u  ,sin  ,
sin u x x x x
 y 1
由 y(1)  得 c  1,故所求特解为sin  。
2 x x


(2)一阶线性微分方程解法(可直接套公式):
1
例 3. y  y cos x  sin 2x;
2

 cos xdx  1  cos xdx 
解 由公式得 y  e   sin 2xe dx  c  sin x 1 ce sin x 。
 2 

word1
例 4. y  , y(1)  0.
2x  y 2

dx
解 原方程可化为  2x  y 2 ,视y 为自变量,x 为 y 的函数,则为一
dy

阶线性方程。由常数变易公式得


 2dy     2dy  1 1 1 
x  e   y 2 e dy  C  e 2 y y 2e 2 y  ye 2 y  e 2 y  C
  2 2 4 
1 1 1
 y 2  y   Ce 2 y ,
2 2 4
3

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