文档介绍：第四章李雅普诺夫稳定性理论
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,李氏第二法。
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重点内容：
李雅普诺夫态是不稳定的。
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线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。
非线性系统的平衡状态不稳定只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。
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（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹
（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹
（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
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李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
线性定常系统稳定性的特征值判据
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：

2）渐近稳定的充要条件：
3）不稳定的充要条件：
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非线性系统的稳定性分析
假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。
设非线性系统状态方程：
在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：
--非线性函数
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其中：
--级数展开式中二阶以上各项之和
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上式为向量函数的雅可比矩阵。
令

则线性化系统方程为：
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结论：
若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与
无关。
若 ,
则非线性系统不稳定。
若，稳定性与有关，

则是李雅普诺夫意义下的稳定。
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例4-2：已知非线性系统的状态方程为：
试分析系统在平衡状态处的稳定性。
解：
令
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可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。
不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。
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李雅普诺夫第二法(直接法)
预备知识
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第二十六页，共73页。
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(x)不定: v(x) >0或V(x)<0 则 V(x) 是不定的。
如：
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，且它的所有主子行列式均非负，则
是正半定的。
，
偶数阶主子行列式为正值，则
是负定的。
即:
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几个稳定性定理
设系统状态方程：
其平衡状态满足，假定状态空间原点作为平衡状态( )，并设在原点邻域存在对 x 的连续的一阶偏导数。
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定理1：若(1) 正定；
(2) 负定；
则原点是渐近稳定的。
(3) 当时 ,
则系统在原点处是大范围渐近稳定的。
说明：负定能量随时间连续单调衰减。
定理2：若(1) 正定；
(2) 负半定；
(3) 在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。
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说明：负半定表示在非零状态存在 ,
但在从初态出发的轨迹上，不