文档介绍：
—利用空间向量求空间角
◆复****引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
—利用空间向量求空间角
◆复****引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间夹角问题
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：
（2）两向量夹角公式：
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量
◆知识点1：异面直线所成的角
（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.
（2）两条直线的夹角：
l
m
l
m
所以 与 所成角的余弦值为
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系
如图所示，设 则：
所以：
例：
（3）直线与平面的夹角：
例：
因为 ,
所以 是平面ANM的法向量
解:建立如图示的直角坐标系,则
l
D
C
B
A
◆知识点2：二面角
①方向向量法：
（范围： ）
l
l
②法向量法
法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
设平面
例1：
如图，已知：直角梯形OABC中，
OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，
且OS=OC=BC=1，OA=2.
求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值;
(2)OS与面SAB所成角的余弦值;
(3)二面角B－AS－O的余弦值.
O
A
B
C
S
x
y
z
例2：
O
A
B
C
S
x
y
z
如图，已知：直角梯形OABC中，
OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，
且OS=OC=BC=1，OA=2.
求：(1)异面直线SA和OB所成的
角的余弦值;
O
A
B
C
S
x
y
z
如图，已知：直角梯形OABC中，
OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，
且OS=OC=BC=1，OA=2.
求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ;
所以OS与面SAB所成角的余弦值为
O
A
B
C
S
x
y
z
所以二面角B－AS－O的余弦值为
如图，已知：直角梯形OABC中，
OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，
且OS=OC=BC=1，OA=2.
求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.
◆课堂小结
1．异面直线所成的角：
2．直线和平面所成的角：
3．二面角：
.
练****1：如图，四面体ABCD中，O是BD的中点,
,
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
◆能力提升
解：（I）略
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
所以异面直线AB与CD所成角的
余弦值为
练****2：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.
A
B
C
D
P
E
G
x
y
z
A
B
C
D
P
E
G
x
y
z
(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=、BD交于G点
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
A
B
C
D
P
E
G
x
y
z
所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为