文档介绍：关于二重积分的计算方法
第一张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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本节介绍计算二重积分的方法:
二重积分化为
累次积分(即两次定积分).
二重积分的计算法
第二张，共五十八张，创建于2022年，星期一
2002 年研究生考题, 7分
练习
计算二重积分
其中
解
设
第二十张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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解
计算积分
不能用初等函数表示,
先交换积分次序.
练习
二重积分的计算法
第二十一张，共五十八张，创建于2022年，星期一
第二十二张，共五十八张，创建于2022年，星期一
第二十三张，共五十八张，创建于2022年，星期一
第二十四张，共五十八张，创建于2022年，星期一
第二十五张，共五十八张，创建于2022年，星期一
例
则
提示: 如图，
A
设有平面闭区域
第二十六张，共五十八张，创建于2022年，星期一
例. 有一个平面薄片, 在平面上占有区域
其面密度为，求该薄片的质量M。
由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据得
解：根据二重积分的物理意义，
第二十七张，共五十八张，创建于2022年，星期一
例. 计算
其中D 由
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
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第二十八张，共五十八张，创建于2022年，星期一

例. 设在连续，且
证明
证明:
补区域使其与区域
注意到被积函数关于和对称，
关于直线对称。
第二十九张，共五十八张，创建于2022年，星期一
例.
设为取值恒大于0的连续函数，区域
，与是两个
非零常数，则二重积分
第三十张，共五十八张，创建于2022年，星期一
解：由于区域关于直线对称，可得
从而
第三十一张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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计算
解
积分区域D关于x轴对称,
被积函数关于y为偶函数.
原式=
记D1为D的y≥0的部分.
则
D1
练习
二重积分的计算法
第三十二张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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二、利用极坐标系计算二重积分
两相邻弧半径平均值.
内取圆周
上一点
其直角坐标
则
设为
二重积分的计算法
第三十三张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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得
即
也即
极坐标系中的面积元素
二重积分的计算法
第三十四张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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(1) 积分区域D:
θ
二重积分的计算法
θ
第三十五张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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(2)积分区域D(曲边扇形):
二重积分的计算法
第三十六张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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极坐标系下区域的面积
(3) 积分区域D:
注
一般,在极坐标系下计算:
θ
二重积分的计算法
第三十七张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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解
例
写出积分
的极坐标二次积分
其中积分区域
形式,
在极坐标系下
圆方程为
直线方程为
二重积分的计算法
第三十八张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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解
a
例
计算
其中D是由中心在原点,
半径为a的圆周所围成的闭区域.
在极坐标系下
二重积分的计算法
第三十九张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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解
求反常积分
例
显然有
二重积分的计算法
第四十张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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又
二重积分的计算法
对称性质
第四十一张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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概率积分
夹逼定理
即
所求反常积分
二重积分的计算法
第四十二张，共五十八张，创建于2022年，星期一
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解
计算
所围成的平面闭区域.
例
及直线
二重积分的计算法
第四十三张，共五十八张，创建于20