文档介绍：二次函数的图像与性质
一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： y ax2 的性质：
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
0 ，0
x
0 时
⑵ y
ax2
bx
c 沿轴平移：向左（右）平移
m 个单位， y
ax 2
bx
c 变成
y
a( x
m) 2
b( x m) c （或 y
a(x
m) 2
b( x m)
c ）
三、二次函数 y
a x
h
2
k 与 y ax2
bx
c 的比较
从解析式上看，
y
a
x
2
k 与 y
ax2
bx c是两种不同的表达形式，后者通过配
h
2
b2
b ，k
2
方可以得到前者，即
y
a
x
b
4ac
，其中 h
4ac b
．
2a
4a
2a
4a
四、二次函数 y
ax2
bx
c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y ax
2
bx
c 化为顶点式 y a (x h)
2
，
k 确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
. 一般我们
选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点
0 ，c
、以及
0 ，c 关于对称轴对称的点
2h ，c
、
与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点 .
五、二次函数 y ax2 bx c 的性质
1.
当 a
0 时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b
，顶点坐标为
b
，4ac
b 2
．
2a
2a
4a
当 x
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x
b
时， y 随 x 的增大而增大；当 x
b
2a
2a
2a
2
时， y 有最小值 4ac b ．
4a
2.
当 a
0 时，抛物线开口向下，对称轴为
x
b
，顶点坐标为
b ，4ac
b 2
．当
2a
2a
4a
x
b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x
b 时， y 随 x 的增大而减小；当
x
b
时， y
2a
2a
2a
2
有最大值 4ac b ．
4a
六、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式：
y
ax2
bx c （ a ， b ， c 为常数， a
0 ）；
2.
顶点式：
y
a( x
h) 2
k （ a ， h ， k 为常数， a
0 ）；
3.
两根式：
y
a( x
x1 )( x
x2 ) （ a 0， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4 ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交
点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次项系数 a
二次函数
y ax2
bx c 中， a
作为二次项系数，显然 a 0 ．
⑴ 当 a
0
时，抛物线开口向上，
a 的值越大，开口越小，反之
a 的值越小，开口越大；
⑵ 当 a
0
时，抛物线开口向下，
a 的值越小，开口越小，反之
a 的值越大，开口越大．
总结起来，
a 决定了抛物线开口的大小和方向，
a 的正负决定开口方向，
a 的大小决
定开口的大小．
一次项系数 b
在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 a
0 的前提下，