文档介绍：电磁场与电磁波项目训练报告
求解金属槽的电位分布
班 级：
姓 名：
学 号：
指导教师：
成 绩：
电子与信息工程学院
信息与通信工程系
求解金属槽的电位分布
1 .实验原理
利用有限差分法和matla
对于问题(4),在程序设计中利用。nes(x,y)建立一个且每个元素初值都为为1的矩 阵A。再对矩阵进行狄利克雷边界初始化，并且设置矩阵的左边界为0,左边界为初值为 由式子100:-5:0产生的一个单位矩阵向量。上下边界分别为100和0。在保证精度的情况 下以拉普拉斯差分式进行下一级的数值计算。最终得到一个满足迭代要求的矩阵A。具体
程序实现见附录B。运行附录B中的程序就可以得到半场域的数值解。通过函数contour(A) 可以绘制出等电位分布图，分布图如下：
图4-3半场域金属槽等电位图
1012M1618
对于问题(7),取中心点P。。求解其电位的解析解，因为该点位置处于高度对称位 置，所以该点所在的对称线上可视为匀强电场。故有：
E • L =巾 (4-1)
得：
E-L/2 =(p/2 (4-2)
所以该点电位。。由此可以得出误差 范围为：,相对误差为：%o
收敛因子作用
为了加快收敛速度，常采用超松弛迭代法。计算时，将某点的新老电位值之差乘以一 个因子以后，再加到该点的新老电位值上，作为这一点的新电位值。超松弛迭代法的表达 式：
挤+1 -渺+ a +嬉+1+麻厂就)
(5-1)
式中c(称为松弛因子，其值介于I和2之间。其中最佳收敛因子:
1 + sin（7r/ p）
其中P为每边的节点数减去lo
其中M、N分别是X、y两个方向的内节点数。对于本项目中，M=41、N=21,计算得:
表4-1最佳收敛因子迭代次数
迭代次数 89
取若干个收敛因子求得的迭代次数得表4-2和表4-3中的数据。
表4-2收敛因子迭代次数和中心数值
迭代次数
740
615
508
416
335
262
中心点电位值
表4-3收敛因子迭代次数和中心数值
迭代次数
196
133
106
73
80
161
中心点电位值
其中：中心点的解析解为50V。
由收敛因子映射到中心电位值可以得到一个利用Excel绘制的走势图。如图:
收敛因子
图4-1中心点电势趋势图
从迭代次数上看，收敛因子存在一个最佳值。由表可以看出，当迭代因子从1开始趋近于 最佳迭代因子时，收敛次数减少，进而使收敛速度较简单迭代法加快。当收敛因子远离最 佳收敛因子时，收敛次数又开始减少，进而使收敛速度较简单迭代法变慢。即收敛因子影 响收敛速度。
从数值解的角度来说，由图3-7可知，随着加速收敛因子的增加，所得到的数值解就越接 近于也随之增加。到达一定的数值后，呈现出一种稳定的状态。由此可知，收敛因子可以 的增加会使数值解接近于解析解，而又不会等于解析解。
参考文献
司守奎，，:411—424
王家礼，朱满座，，:118—122
附录A：简单差分法求解电位分布
%将待求区域化成20*40个边长为1的正方体
%顶板100V,左右底为0V
x=21;y=41;%网格节点数x行,y列
A=ones(x,y);%设置21行,41列的矩阵
A(l,:)=ones(l,y)*100;% 设置上基板的值
A(x,:)=zeros(l,y);%设置下基板的值
A(:,l)=zeros(x,l);%设置左基板的值
A(:,y)=zeros(x,l);%设置右基板的值
disp(A);%命令行输出矩阵A
A1=A;%初始化一级近似值A1
max=l;%初始化最大绝对误差值，用于进入while循环
k=0;%迭代次数
while(max>le-5)%由A迭代，算出• A1,迭代精度为le-6
k=k+l;%计算迭代