文档介绍：二次函数图像总结总结第 5讲二次函数的图象和性质一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式: 2①一般式: y?ax?bx?c ( a、 b、 c 为常数, a≠ 0) 2②顶点式: y?a(x?h)?k (a、h、k 为常数, a≠0 ),其中( h,k )为顶点坐标。 y?a(x?x1)(x?x2) ,③交点式:其中 x1, x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标, 2 即一元二次方程 ax?bx?c?0 的两个根,且 a≠ 0 ,(也叫两根式)。(转载于:.SmHaIDA. 海达范文网: 二次函数图像总结) 2 y?ax?bx?c 的图象 2. 二次函数 2y?ax?bx?c 的图象是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物①二次函数线,几个不同的二次函数,如果 a 相同,那么抛物线的开口方向, 开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同。 22 y?a(x?h)?ky?ax ②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到, 移动规律可简记为: [ 左加右减,上加下减] ,具体平移方法如下表所示。 22 y?ax?bx?cy?a(x?h)?k 的形式,然③在画的图象时,可以先配方成后将 y?ax 的图象上(下)左(右)平移得到所求图象,即平移法; 也可用描 22 点法:也是将 y?ax?bx?c 配成 y?a(x?h)?k 的形式,这样可以确定开口方2 向,对称轴及顶点坐标。然后取图象与 y 轴的交点( 0,c ),及此点关于对称轴对称的点( 2h, c );如果图象与 x 轴有两个交点,就直接取这两个点( x1,0 ), ( x2,0 )就行了;如果图象与 x 轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与 y 轴交点及其对称点), 一般画图象找 5 个点。 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 22 ①配方法:将解析式 y?ax?bx?c 化为 y?a(x?h)?k 的形式,顶点坐标为( h, k ),对称轴为直线 x?h ,若 a> 0, y 有最小值,当 x= h 时, y 最小值?k ;若 a< 0, y 有最大值,当 x= h 时, y 最大值?k。 b4ac?b2 ?, 4a)②公式法:直接利用顶点坐标公式( 2a ,求其顶点;对称轴 b4ac?b2b x??a?0 , y 有最小值,当 x?? 时, y 最小值?; 2a2a4a 是直线,若若 b4ac?b2 x?? 时, y 最大值? 2a4aa?0 ,y 有最大值,当 5. 抛物线与 x 轴交点情况: 2 y?ax?bx?c(a ≠ 0) 对于抛物线 2①当??b?4ac?0 时,抛物线与 x 轴有两个交点,反之也成立。 2 ②当??b?4ac?0 时,抛物线与 x 轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点。 2③当??b?4ac?0 时,抛物线与 x 轴无交点,反之也成立。二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例 1. 已知二次函数 f( x )满足 f( 2 )=- 1, f (- 1 )=- 1 ,且 f ( x )的最大值是 8 ,试求 f( x )。解答: 法一:利用二次函数的一般式方程设 f( x )= ax2 + bx+ c( a≠ 0 ),由题意故得 f( x )=- 4x2 + 4x+ 7。法二:利用二次函数的顶点式方程设f(x )= a(x-m)2+n 由f(2 )= f (- 1 )可知其对称轴方程为又由 f(x )的最大值是 8 可知, a&lt;0 且 n= 8;由 f( 2 )=- 1 可解得 a =- 4。,故 m= ; 故。法三:利用二次函数的零点式方程由f(2 )=- 1,f (- 1 )=- 1 可知 f(x )=- 1 的两根为 2 和- 1 ,故可设 F(x )= f(x )+ 1=a(x-2 )( x+1 )。又由 f(x) 的最大值是 8 可知 F( x )的最大值是 9 ,从而解得 a =- 4或 0 (舍)。所以 f(x )=- 4x2 + 4x+7。说明:求函数解析式一般采用待定系数法,即先按照需要设出函数方程,然后再代入求待定系数。考点二二次函数的图像变换例 2.( 2008 年浙江卷)已知 t 为常数,函数在区间[0, 3] 上的最大值为 2 ,则 t=。解答:作出的图像, I 、若所有点都在 x 轴上方,则 ymax =f(3 )= 2 可解得 t= 1; II 、若图像有部分在 x 轴下方,把 x 轴下方的部分对称地翻折到 x 轴上方即可得到的图像,则 ymax = f( 1 )或 ymax = f( 3 ),解得 t =- 3或t=1 ,经检验, t=1 。综上所述, t=1。考点三二次函数的图像的应用例 3. 已知函数 f(x )= 4x2 - mx +5 在区间[-2 ,+