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§ 定积分计算基本公式
x
数(x)  f (t)dt 在[a,b]上具有导数，且它的导
a
d x
数是(x)  f (t)dt  f (x) (a  x  b)
dx a
y
xx
证 (x  x)  f (t)dt
a
  (x  x)  (x)
(x)
xx x
 f (t)dt  f (t)dt
a a o a x x  x b x
2010-3-21 7x xx x
 f (t)dt  f (t)dt  f (t)dt
a x a
xx y
 f (t)dt,
x
由积分中值定理得  ( x )
o a x  x   x b x
  f ( )x [x, x  x],
 
 f ( ), lim  lim f ( )
x x0 x x0
x  0,   x  (x)  f (x).
2010-3-21 8推论 如果 f (t)连续， ( x)、 (x) 可导，
a
（1） F(x)  x f (t)dt
则 x
F(x)  [a f (t)dt]   f (x)
 ( x )
（2）F ( x)  a f (t)dt
则  ( x )
F( x)  [a f (t)dt]  f ( ( x)) ( x)
 ( x )
(3)F(x)   ( x ) f (t)dt ，则F(x)的导数为
d  ( x )
F(x)   ( x ) f (t)dt
dx
2010-3-21  f  (x) (x)  f [(x)](x) 9x 2
t 2 x
例1 [ e dt ]  e
2
3
[ cos 2 tdt]  cos2 x
x
2 2
d x2 sin t sin x sin x
例2 2
dt  2 (x )'  2
dx 1 t x x
x2 sin t u sin t
dt  dt,u  x 2
1 t 1 t
2010-3-21 10 : .
§ 定积分计算基本公式