文档介绍：D
B
则得
|cosn,AP
|cos；n,PA|
一、求线与面的角
※直线与平面所成的角，是直线与平面的法向量所成的角（取锐角）的余角
如图，已知PA为平面a的一条斜线，n为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线PQ连结
D
B
则得
|cosn,AP
|cos；n,PA|
一、求线与面的角
※直线与平面所成的角，是直线与平面的法向量所成的角（取锐角）的余角
如图，已知PA为平面a的一条斜线，n为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线PQ连结
OA则£PAg斜线PA和平面”所成的角记9,易得
sin-|sin
2OP，AP)|
【例1】如图，在几何体ABCD睁，AABC^等腰直角三角形，/ABC=9b,BE和CDM
BD=(0,2,1),DF=(1,-2,0)
=|COsOP,AP|
nPA贝U9=arcsin%—
n|PA
垂直于平面ABC且BE=AB=2CD=1点F
Az
是AE的中点
（1）证明：DF//平面ABC（略）
E
x
又设AB与平面BDF所成角为e，则法线n与BA所成的角为广。
n
别为x、y、z轴,
则n-DF,n-BD,
n
n
DF=0
—八，而
BD=0'
所以n=(2,1,-2)
a=1
、b=—2
|n,PA|
|^||PA|
（2）求AB与平面BDF所成角的大小。
解：以B为原点，BABGBE所在直线分
建立空间直角坐标系（如图）。设平面BDF
n=(2,a,b)
A；
(2,a,b)(1,-2,0)=0i(2,a,b)〈0,2,1)=0
O
+y
C
F
1图)
,二.、BAn(2,0,0)(2,1,一2)2二cos(——8)===—2朗,州2x33即sin-2,故AB与平面BDF所成的角为arcsin233
用法向量求解，不用作出AB与平面BDF所成的角，从而避开了作图的难度二、求线与面平行
※直线与平面平行是直线与平面的法向量垂直问题，只取和直线平行的向量，验证该向量和平面的法向量的内积是否为零即可。
【例2】如图，四棱锥P-ABC曲PZ平面ABCDPB与底面所成的角为45°,底面ABC两直角梯形，/ABCyBAD=90,PA=BC=1AD=a2
(1)求证：平面PAG平面PCD(略)
(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE//平面PAB若存在，请确定E点的位置；若不存在,CE--a,y-a,z
y、z轴建立空
请说明理由。
解：分别以ABADAP所在直线为X、间直角坐标系(如图)则P(0,0,a),C(a,a,0),D(0,2a,0)设在棱PD上存在点E坐标为(0,y,z),贝UPE=：!0,y,z-a,PD=：「0,2a,-a
PE//PD,.y-a-2z-a)=0AD=(0,2a,0是平面PAB的法向量，又由CE//面PABCE—AD=-a,y-a,zQ2a,0=0二y=a,代入得z=-2•••E是PD中点，即存在点E(0,a,1a)使得CE//面PAB2三、求二面角的大小※如图在二面角a_|—P中甘和n7分别为
平面a和E的法向量若二面角a—I—E,记二面角a—I—P的大小为6（i）若该二面角为锐二面角，贝U9=«n｝或e=兀-（依据两平面法向量的方向而定），但总有|co