文档介绍：飞机追击问题
摘要
本文讨论的是关于我方飞机追及不明敌机的问题。其大概的思路是建立平面直角 坐标系，建立微分方程模型，得到一个二阶方程，通过降阶法化为一阶方程，使 用微分思想，推导出所求的方程表达式，因而得到我方飞机追击敌机的轨迹方程。飞机追击问题
摘要
本文讨论的是关于我方飞机追及不明敌机的问题。其大概的思路是建立平面直角 坐标系，建立微分方程模型，得到一个二阶方程，通过降阶法化为一阶方程，使 用微分思想，推导出所求的方程表达式，因而得到我方飞机追击敌机的轨迹方程。 通过分析假设敌我双方飞机形成固定夹角下在不同时刻下双方的位置，进而推导 出求解公式。
关键词：追击、平面直角坐标系、微分方程、降阶法
问题重述：
我军飞机在基地巡航飞行时，发现正北方向120 km处有一敌机以90 km/h ，我方飞机速度为450km/h,自 动导航系统使飞机在任一时刻都能对准敌机。求出我飞机在何时何处能拦截敌机 以及当敌机以135km/h的速度与我飞机成固定夹角的方向逃逸时，我方飞机在 何时何处能拦截敌机。
模型假设
假设我方飞机以及敌机的运动为质点运动。
假设双方飞机为匀速率运动。
假设飞机的运动速度跟风速和空气阻力没有关系，但是实际飞机运动过程 中阻力影响和飞行速度有关系。在运动的过程中也忽略了重力的影响。
符号说明：
Ve：敌机飞行速度。
Vw：我方飞机飞行速度。
O:我方飞机初始位置。
A:敌机初始位置。
B:我方飞机机追击到敌机的位置。
S:两机初始位置之间的距离。
问题的分析:
我方飞机在追击的过程中始终指向敌机，即我方飞机的飞行方向随着时间的
改变而改变，建立起平面直角坐标系有
（图1）
模型的建立
:
当t = 0时，我方飞机位于点。，敌机位于（0, A）点。设我方飞机在t时刻的位置为
Rx,y）。飞机速度恒定，则有
dy _ £ 一 y
dx vet — x
由于我方飞机飞行轨迹的切线方向必须指向敌机，即直线pm的方向就是飞 行轨迹上点夕的切线方向，故有
(xdq yd〉T = nr
:
如果敌机以135km/h速度与我巡航飞机方向成固定夹角方向逃逸，设逃逸方向
与我方飞机速度方向夹角为如图2建立坐标
图2
模型的求解：
：
建立微分方程模型，通过降阶法化把推导出的二阶方程转为一阶方程，然后 用分离变量法求解。
第一步：
建坐标系，取我方飞机起飞处为原点0(0,0)，轴指向正东方，轴指向正北方。 设当f=o时，我方飞机位于点。，敌机位于(0,力)点，其中7/= 120 (km) o我方飞 机在f时刻的位置为日＞(切,M坊，如(图1)。
第二步:
由题意可知
其中九=450切/ ”；而在时刻，敌机的位置为〃(七*，S),其中 vp = 90切 / h
Q o
由于我方飞机轨迹的切线方向必须指向敌机，即直线的方向就是我方飞机轨 迹上点的切线方向，故有
dy _ S — y 云=E — x或写为
—(5 - y)= Vet - x dx
(2)
第三步：
将(2)式两边对Z■求导得到
dx
d x dy 、 dx ( dy、
dy2